科普下三角形重心有什么性质及三角形重心21怎么证明

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　　性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。
　　三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
　　证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
　　现在我们只要证明AD⊥BC即可。
　　因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。
　　四边形AFHE为圆内接四边形。
　　所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
　　由∠FAH=∠FCB得
　　四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。
　　点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
　　还可以通过向量证明。
　　已知△ABC的两条高AD,BE相交于H，连接CH，求证CH⊥AB
　　证明：设HA=a，HB=b，HC=c
　　则BC=c-b，AC=c-a，AB=b-a
　　∵HA⊥BC，∴a*(c-b)=0
　　即a*c=a*b
　　同理，b*c=a*b
　　∴a*c=b*c，即c*(b-a)=0
　　∴CH⊥AB
　　证法三：运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明。
　　已知：△ABC中，AD,BE,CF是高。求证：AD,BE,CF相交于一点。
　　证明：过A作直线a∥BC,过B作直线b∥AC,过C作c∥AB，设a与b交点为C'，a与c交点为B’，b与c交点为A‘
　　∵AC’∥BC,AC∥BC'
　　∴四边形ACBC'是平行四边形
　　∴AC'=BC
　　同理，AB'=BC
　　∴AB'=AC',A是B'C'中点
　　∵AD⊥BC,BC∥B'C'，∴AD⊥B'C'，即AD是B‘C’的垂直平分线
　　同理，BE是A'C'的垂直平分线，CF是A'B'的垂直平分线
　　∵三角形三边的垂直平分线交于一点
　　∴AD,BE,CF交于一点