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数学知识线段垂直平分线的性质定理

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  1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。2、垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。
  垂直平分线的逆定理
  逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
  如图1,已知N是AB中点,MN是AB的垂直平分线,平面上一点P满足PA=PB,证明:P在MN上。
  解:
  ∵MN是AB的垂直平分线
  ∴AN=BN
  ∵PA=PB,PN=PN
  ∴△PAN≌△PBN
  ∴∠PNA=∠PNB
  ∵∠PNA+∠PNB=180°
  ∴∠PNA=∠PNB=90°
  由于过平面上一点,有且仅有一条直线与已知垂线垂直,故P在MN上。
  该逆定理得证。
  判定方法
  ①利用定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线
  ②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)。

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