数学教案双曲线的几何性质

　　§8．4 双曲线的几何性质（第1课时）
　　㈠课时目标
　　1．熟悉双曲线的几何性质。
　　2．能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。
　　3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。
　　㈡教学过程
　　[情景设置]
　　叙述椭圆 的几何性质，并填写下表：
　　方程
　　性质
　　图像（略）
　　范围-a x a，-b y b
　　对称性对称轴、对称中心
　　顶点（±a,0）、（±b,0）
　　离心率e=(几何意义)
　　[探索研究]
　　1．类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。
　　双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。
　　双曲线与椭圆的几何性质对比如下：
　　方程
　　性质
　　图像（略） （略）
　　范围-a x a，-b y bx a,或x -a,y R
　　对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心
　　顶点（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）
　　离心率0 e= 1
　　e= 1
　　下面继续研究离心率的几何意义：
　　（a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e= 1）
　　2.渐近线的发现与论证
　　根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（能）
　　根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（不能）
　　通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。
　　我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。
　　问：双曲线 有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？
　　引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：
　　y=± =±
　　当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±
　　与直线y=± 无限接近。
　　这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。
　　直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。
　　证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线 上的仍一点，则
　　y0= ，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：
　　MQ = =
　　= ．
　　点M向远处运动， x0随着增大， MQ 就逐渐减小，M点就无限接近于 y=
　　故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。
　　3．离心率的几何意义
　　e=，c a,  e 1由等式c2-a2=b2,可得 ===
　　e越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）
　　e越大 越大，双曲线开口越大（开阔）
　　4．巩固练习
　　求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。
　　①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4
　　已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程
　　①M（4， ） ②M（4， ）
　　[知识应用与解题研究]
　　例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
　　例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）
　　㈣提炼总结
　　1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。
　　2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。
　　3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。