上学期2。4反函数

　　教学目标
　　1. 使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.
　　2. 通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.
　　3. 通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.
　　教学重点,难点
　　重点是反函数概念的形成与认识.
　　难点是掌握求反函数的方法.
　　教学用具
　　投影仪
　　教学方法
　　自主学习与启发结合法
　　教学过程
　　一.  揭示课题
　　今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.
　　1.4.  反函数(板书)
　　(一)反函数的概念(板书)
　　二.讲解新课
　　教师首先提出这样一个问题:在函数  中,如果把  当作因变量,把  当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在  的允许取值范围内的任一值,按照法则  都有唯一的  与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释＂任一  对唯一  ＂)
　　学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即  有反函数,而且把这个函数称为  的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?
　　由学生回答出应为  .教师再提出  它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用  表示自变量,用  表示因变量,故它又可以改写成  ,改动之后带来一个新问题:  和  是同一函数吗?
　　由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把  叫做  的反函数.继而再提出:  有反函数吗？是哪个函数?
　　学生很快会意识到  是  的反函数,教师可再引申为  与  是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象  这样的函数,若将  当自变量,  当作因变量,在  允许取值范围内一个  可能对两个  (可画图辅助说明,当  时,对应  ),不能构成函数,说明此函数没有反函数.
　　通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对  的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.
　　1.  反函数的定义 :( 板书)(用投影仪打出反函数的定义)
　　为了帮助学生理解,还可以把定义中的  换成某个具体简单的函数如  解释每一步骤,如得  ,再判断它是个函数,最后改写为  .给出定义后,再对概念作点深入研究.
　　2.对概念得理解(板书)
　　教师先提出问题:反函数的＂反＂字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系  你能否从函数三要素的角度解释＂反＂的含义呢?(仍可以  与  为例来说)
　　学生很容易先想到对应法则是＂反＂过来的,把  与  的位置换位了,教师再追问它们的互 换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论:  的定义域和值域分别由 的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为＂三定＂.
　　(1)＂三定＂(板书)
　　然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是＂反＂字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中  与  的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图
　　最后教师进一步明确 ＂ 反 ＂ 实际体现为 ＂ 三反 ＂ ,  ＂ 三反 ＂ 中起决定作用的是  与  的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两  ＂ 反 ＂ .
　　(2) ＂ 三反 ＂ (板书)
　　此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.
　　例1. 求  的反函数.(板书)
　　(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)
　　解:由  得  ,  所求反函数为  .(板书)
　　例2. 求  ,  的反函数.(板书)
　　解:由  得  ,又  得  ,
　　故所求反函数为  .(板书)
　　求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为  ,  .
　　教师可先明知故问  ,与  ,  有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是  和  ,所以它们是不同的函数.再追问  从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.
　　在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.
　　解: 由  得  ,又  得  ,
　　又  的值域是  ,
　　故所求反函数为  ,  .
　　( 可能有的学生会提出例 1 中为什么不求原来函数的值域的问题 , 此时不妨让学生去具体算一算 , 会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的 , 所以使得最后结果没有出错 . 但教师必须指出结论得一致性只是偶然 , 而不是必然 , 因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域 , 并且在最后所求结果上注明反函数的定义域 , 同时让学生调整例的表述 , 将过程补充完整 )
　　最后让学生一起概括求反函数的步骤 .
　　3. 求反函数的步骤 ( 板书 )
　　(1)  反解 :
　　(2)  互换
　　(3)  改写 :
　　对以上环节教师可稍作解释 , 然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了 .
　　三 . 巩固练习
　　练习 : 求下列函数的反函数 .
　　(1)   (2)  .( 由两名学生上黑板写 )
　　解答过程略 .
　　教师可针对学生解答中出现的问题 , 进行讲评 .( 如正负的选取 , 值域的计算 , 符号的使用 )
　　四 . 小结
　　1.  对反函数概念的认识 :
　　2.  求反函数的基本步骤 :
　　五 . 作业
　　课本第 68 页习题 2.4 第 1 题中 4,6,8, 第 2 题 .
　　六 . 板书设计