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圆周率π与滑块碰撞次数之间的奇妙关系

昨天看到一篇文章《这一切要从碰撞的滑块和量子搜索讲起》,里面说到圆周率π与滑块碰撞次数有种奇妙的关系:

在光滑的平面上放着两个1 kg的滑块,在它们的左侧有一面坚固且不可移动的墙。两个滑块一个离墙近一些,一个远一些,而且后者正在向前者滑去。可以想象,接下来将会产生许多次碰撞。假设每次碰撞时都没有动能损失,整个过程将像下面图中展示的那样:

图1

右侧的滑块碰撞左侧的滑块,并将全部动量转移给左侧滑块,左侧滑块碰到墙反弹回来,再与右侧滑块发生碰撞并将动量全部转移过去。期间左侧滑块一共发生了3次碰撞。如果我们增大右侧滑块的质量,会发现一些更有趣的事情:将右侧滑块质量换成100 kg,那每次碰撞时只会有一小部分动量发生转移,将会碰撞31次;如果将右侧滑块质量换成10000kg,那整个过程将发生314次碰撞

不断100倍100倍地增加右侧滑块质量,你会发现神奇的现象:总碰撞次数与π每一位的数字越来越接近。

图2

我也感觉很神奇,于是做了一下计算,计算结果支持这个说法。

图3

设滑块a和滑块b的质量分别为ma和mb,速度为va和vb。速度随着碰撞而改变,设两个滑块间发生第m次碰撞后的速度分别为va,m和vb,m。

由于碰撞过程中没有动能损失,因此滑块a碰撞左侧墙壁后,速度将大小不变,方向相反。根据动量守恒原理,可列下式:

-mava,m-1 + mbvb,m-1 = mava,m + mbvb,m .......①

因为碰撞过程动能无损失,可列下式:

mava,m-12 + mbvb,m-12 = mava,m2 + mbvb,m2 ..②

设mb = K·ma(图3中K为100),由式①、②可得(计算过程略):

 ...........................③

 .........................④

当vb,m为负,且|va,m|<=|vb,m|时,两个滑块将不再发生碰撞,此时如果va,m>0,则滑块a还将与墙壁碰撞一次。将式③、④写入Excel表格,可以快速得到结果:

表1

K=1

m

va

vb

初始

0:

1:

1:

1:

0:

2:

0:

-1

加上与墙壁的碰撞,共碰撞3次。

2m-1

表2

K=100

m

va

vb

初始

0:

1:

1:

1.98019802

0.98019802

2:

3.881972356

0.921576316

3:

5.630005212

0.82645654

4:

7.155067565

0.698605813

5:

8.396760906

0.543087528

6:

9.30590926

0.366060826

7:

9.846506752

0.174536666

8:

9.997143581

-0.023899837

9:

9.751853931

-0.221389812

10:

9.120352245

-0.410111874

11:

8.127648489

-0.582591881

12:

6.813057665

-0.731998943

13:

5.228642775

-0.852415947

14:

3.437152923

-0.939073904

15:

1.509538203

-0.988540816

16:

-0.477860208

-0.998857596

加上与墙壁的碰撞,共碰撞31次。

2m-1

表3

K=10000

m

va

vb

初始

0:

1:

1:

1.99980002

0.99980002

2:

3.9988002

0.99920016

3:

5.99620102

0.99820066

4:

7.991203599

0.996801919

5:

9.983010016

0.995004498

6:

11.97082363

0.992809115

7:

13.95384939

0.990216647

8:

15.93129417

0.987228133

9:

17.90236707

0.983844767

10:

19.86627974

0.980067902

11:

21.82224669

0.97589905

12:

23.76948562

0.971339876

13:

25.7072177

0.966392206

14:

27.63466792

0.961058017

15:

29.55106539

0.955339444

...

...

...

155:

4.168389998

-0.999130849

156:

2.169494513

-0.999764637

157:

0.169731316

-0.99999856

加上与墙壁的碰撞,共碰撞314次。

(2m-1)+1

表4

K=1000000

m

va

vb

初始

0:

1:

1:

1.999998

0.999998

2:

3.999988

0.999992

3:

5.999962

0.999982

4:

7.999912

0.999968

5:

9.999830001

0.99995

6:

11.999708

0.999928001

7:

13.999538

0.999902002

8:

15.99931201

0.999872003

9:

17.99902202

0.999838004

10:

19.99866003

0.999800007

11:

21.99821804

0.99975801

12:

23.99768807

0.999712014

13:

25.9970621

0.999662019

14:

27.99633215

0.999608026

15:

29.99549021

0.999550034

...

...

...

1569:

3.593691854

-0.999993543

1570:

1.593699581

-0.99999873

1571:

-0.406299066

-0.999999917

加上与墙壁的碰撞,共碰撞3141次。

2m-1

以表3中100vb为纵坐标,va为横坐标,可得下面半圆图形:

图4

先写到这里,有时间再分析为什么圆周率π与滑块碰撞次数之间有这个奇妙关系。

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