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第一百六十二夜 数列的单调性

放下三千题,淡然一笑间。

嗯嗯,好兴致。

生来优雅,干嘛要为红尘俗世所折腾?

嗯嗯,有道理。

我还有更有道理的,比如活在梦想、时尚、放空、以及正能量。

然后呢?

然后就是当下可咋办?

1  围观

一叶障目,抑或胸有成竹

混合数列,精工对称,韵在其形,味在其里,是一道不可多得的好题。

2019年高考全国2卷理科数学就考了一道这样的试题,然而它的来历却可以追溯到更远——2013年(见操作)。

数列是特殊的函数,这点毋庸置疑,因而函数具有的性质,数列同样具有。这便为数列的研究注入了新思路,大大降低了难度。

2  套路

手足无措,抑或从容不迫

3  脑洞

浮光掠影,抑或醍醐灌顶

通过题设两个方程相加减,便可得到两个数列的和与差,为下一步判断数列的单调性做好铺垫。

对选项①,这里完全可以用“累加法”求得通项公式,不妨试试。当然,我是不会这么干的,因为否定结论,一个反例即可。

对选项②,通过“待定系数法”求得通项公式,继而由通项公式直接可判断单调性。

对选项③④,均可借助选项②的结论进行判定。

由此可见,突破选项②是解题的关键。

事实上,③④皆是利用指数函数与对数函数的单调性来判定数列的单调性的,由于是小题,所以没有给出严谨的证明。

当然,上述解法已然较为简洁,但我个人还是偏爱这种:

【法2】

对比选项,①出现2次,②③④各出现3次,而①出现最少,②③④出现次数相等,所以果断选A。

关于法2,不要问我解题的依据,没有依据,也不建议模仿,慎用,小心翻车。

另外,涉及到单调性判断符号的时候,也可借助“放缩法”完成,感兴趣的可自行尝试,不作赘述。

【归纳】

严格地说,数列的单调性与函数的单调性并非一回事,这当中涉及许多高深的知识,可参考《高等数学》或《数学分析》的相关章节。

4  操作

行同陌路,抑或一见如故

兴来一挥百纸尽,骏马倏忽踏九州。

我书意造本无法,点画信手烦推求。

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