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[转载]杨六省:√2不是有理数的两个广为流传的无效证明

说明:因杨六省老师之邀,先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数证明》以及《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑》、《数学界现代版指鹿为马——‘√2= p/q(p,q互质)’是‘√2不是有理数’的反论题?》、《在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明中隐藏着一个“复杂问语”的谬误》等相关质疑论述进行了转载,分别已经有数百或者数千人次的点击量。昨天杨六省老师又寄来“√2不是有理数的两个广为流传的无效证明”新作,邀请转载,因我本人对数学一窍不通,仅仅出于帮助开展学术讨论,明辨是非,弄清正误之目的,再次将其转载于下,敬请数学行家进行评议,也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

√2不是有理数的两个广为流传的无效证明

杨六省

yangls728@163.com

    关于√2不是有理数这一结论,有些证明广为流传,但其实是无效证明

    例1:(参见“证明根号2是无理数的八种方法-百度文库”中的“尾数证明法”)设√2=n/m(n和m都是正整数,且n和m互质),√2=n/m可化为n2 =2 m2。易知,n2=2 m2左端的个位数字是0,1,4,5,6,9中之一,而右端个位数字是0,2,8中之一。也就是说,两端的个位都是0,这说明n和m有公因数5,于是推出了矛盾。

    笔者评析:原论题“√2不是有理数”的表达式应该是√2=n/m (n和m不全是整数),上述证明把√2=n/m (n,m互质)设定为反论题,这是正确的吗?互质概念及其真假都是针对两个整数而言的,所以,“n,m互质 ”为假本身就蕴涵着“n和m全是整数”之意;另一方面,原论题√2=n/m (n和m不全是整数)为真表明“n和m不全是整数 ”,这与前一结论不相容,这说明就我们所讨论的问题而言,“反论题假则原论题真”不成立,故上述证明把√2=n/m (n,m互质)设定为反论题是错误的,因而其证明是无效的。

    例2:设√2=n/m(n和m均为正整数),√2=n/m可化为n2 =2m2。后者的右端所含2的因数有奇数个,而左端含2 的因数又为偶数个,这就有了矛盾。

    笔者评析:上述证明是无效的,理由如下

   对于n2 =2 m2(m是正整数)而言,设m =2km1,则有

     n2 =22k+1 m12

    假设n也是正整数,要使上式成立,n所含2的因数个数不得少于(K+1)个

    设n=2k+1n1,则有

     22k+2 n12=22k+1 m12

    化简上式,可得

     2 n12= m12

    此时,又出现右端所含2的因数有偶数个,而左端含2 的因数为奇数个。

    ……

    这个过程可以无穷尽地持续下去,也就是说,我们并非能够得到“右端所含2的因数有奇数个,而左端含2的因数又为偶数个”这样一个固定模式,因此,上述证明是无效的。

      需要说明的是,对于n2=2m2而言,谈论m含2的个数,这一点没有任何问题,因为它是可满足的。但是,接下来谈论n含2的个数,就是犯了“复杂问语”的谬误(参见笔者的帖子“在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明中隐藏着一个‘复杂问语’的谬误”)

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