复数的乘法与除法

　　教学目标
　　（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
　　（2）能应用i和 的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；
　　（3）让学生领悟到＂转化＂这一重要数学思想方法；
　　（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
　　教学建议
　　一、 知识结构
　　二、重点、难点分析
　　本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把 换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．
　　三、教学建议
　　1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行．设  是任意两个复数，那么它们的积：
　　也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把  换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．
　　2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何  ，  ，  及  ，有：
　　，  ，  ；
　　对于复数  只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如  ，若由  ，就会得到  的错误结论，对此一定要重视。
　　3．讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数  ，使它满足  （这里  ，  是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：
　　，
　　由此
　　，
　　于是
　　得出商以后，还应当着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的．分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可． 
　　4．这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果，我们应该看出，  也是-1的一个立方根。因此，我们应该修正过去关于＂-1的立方根是-1＂的认识，想到-1至少还有一个虚数根  。然后再回顾例2的解题过程，发现其中所有的＂-＂号都可以改成＂ ＂。这样就能找出-1的另一个虚数根  。所以-1在复数集C内至少有三个根：-1，  ，  。以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。
　　5．教材194页第6题  这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。
　　教学设计示例