第二章一元一次方程简介

　　课程教材研究所　田载今　　一、教科书内容和课程学习目标　　1．教科书内容　　本章继第1章＂有理数＂之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的＂数与代数＂领域。　　方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。　　本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题。其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。列方程中蕴涵的＂数学建模思想＂和解方程中蕴涵的＂化归思想＂，是本章始终渗透的主要数学思想。　　全章共包括四节　　　　2.1从算式到方程　　这一节分为两个小节。　　2.1.1一元一次方程　　在小学阶段，已学习了用算术方法解应用题，还学习了最简单的方程。本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程。这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步。　　算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算式中只能含已知数而不能含未知数。列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破。正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。　　本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，并且对于＂根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程＂的分析问题过程进行了归纳。　　2.1.2等式的性质　　方程是含未知数的等式，为适合初中学生学习，本章不涉及方程的同解理论，而以等式的性质作为解方程的根据。本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质，并直接利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法。这将为后面几节进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据。
　　2.2从古老的代数书说起 一元一次方程的讨论（1）　　本节仍然结合一些实际问题展开，重点讨论两方面的问题：　　（1）如何根据实际问题列方程？这是贯穿全章的中心问题。　　（2）如何解方程？这节重点讨论解方程中的＂合并（同类项）＂和＂移项＂，这样就已经可解类型的一元一次方程。　　本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780 850年间的阿拉伯数学家阿尔－花拉子米所著的《对消与还原》一书，提问＂对消＂与＂还原＂是什么意思，作为后面要讨论的内容的引子。在本节内容展开中引出＂合并（同类项）＂和＂移项＂。　　本节中用框图形式归纳出＂用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程＂。
　　2.3从＂买布问题说起＂ 一元一次方程的讨论（2）　　本节继续结合一些实际问题讨论一元一次方程，重点讨论两方面的问题：　　（1）如何根据实际问题列方程？这是贯穿全章的中心问题。　　（2）如何解方程？这节重点讨论解方程中的＂去括号＂和＂去分母＂，这样就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤。　　本节从俄罗斯文学家契诃夫的小说《家庭教师》中的一道＂买布问题＂，引出解方程中的＂去括号＂问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而讨论用去分母的方法解这类方程。　　在本节中，以解一个具体方程的过程为例，用框图形式表示了一元一次方程解法的一般步骤。　　2.4再探实际问题与一元一次方程　　在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，本节进一步以＂探究＂的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题。要探究的三个问题（＂销售中的盈亏＂＂用哪种灯省钱＂＂球赛积分表问题＂）要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近。　　本节的重点是建立实际问题的方程模型。通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。　　由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立方程是主要难点。突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。　　2.本章知识结构图　　（1）利用一元一次方程解决问题的基本过程　　（2）本章知识安排的前后顺序　　3.课程学习目标
　　1．经历＂把实际问题抽象为数学方程＂的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。　　　2．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。　　　3．了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。　　　4．能够＂找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系＂，体会建立数学模型的思想。　　　5．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程（见上图），感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。　　4．课时安排　　本章教学时间约需18课时，具体分配如下（仅供参考）：　　2.1从算式到方程约4课时　　2.2从古老的代数书说起 一元一次方程的讨论（1）约4课时　　2.3从＂买布问题＂说起 一元一次方程的讨论（2）约4课时　　3.4再探实际问题和一元一次方程约4课时　　数学活动　　小结约2课时二、本章教科书的编写特点
　　1.突出方程这个重点内容，将有关式的预备知识融于讨论方程的过程中　　在许多教科书中，整式及其加减运算通常安排集中在一元一次方程之前，为一元一次方程的学习做准备。这样做的优点是层次分明，＂前面铺好路后面走起来很顺＂；而不足是学生往往在学习这些预备知识时不能体会它们以后的作用，学习目的性不明确，因而影响学习效果。在本章中没有做如上处理，而是将有关整式的内容分散地融于对方程的讨论之中，不过于强调式的概念，只要它们能自然地为讨论方程这条主线服务即可，这是本章的一个特点。这样处理的目的是突出方程这个实际应用作用明显的内容，由于有关预备知识与方程结合得更密切了，并且不单独予以强调，所以便于学生自然而然地接受和运用，而不感到学了没用。在学生对整式有一些初步的认识的基础上，本套教科书在后面（第15章）还要安排对它们的专门讨论，到那时学生对为什么学习有关式的内容就比较容易理解了。　　2.突出列方程，结合解决实际问题讨论解方程　　列方程是本章的重点，也是难点。为突出重点，分散难点，使学生能有较多机会接触列方程，本章把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线。对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后讨论如何解方程，这是本章的又一特点。教科书先结合两个实际问题的求解过程分别讨论了＂合并（同类项）＂和＂移项＂，并进一步通过一些例题对这两种解方程的变形手段进行综合练习和强化。此后教科书又在对另两个实际问题的讨论中引出解方程中的＂去括号＂和＂去分母＂，并进一步通过一些例题和练习题帮助学生掌握它们。在此基础上，教科书归纳总结出解一元一次方程的目标和一般步骤，引导学生提高对一元一次方程解法的认识。我们认为这样处理解方程的教学符合人们对方程的认识过程，并且可以加强这章内容与实际的联系，有助于解决部分学生总感觉列方程难的问题。　　3.通过加强探究性，培养分析解决问题的能力、创新精神和实践意识　　本章的中心任务是，使学生经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程的作用，掌握运用方程解决简单问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。由于实际问题的类型多样，在某些问题中数量关系不十分明显，使得以方程为模型表示问题中的数量关系成为教学中的难点。为切实提高利用方程解决实际问题的能力，本章在内容选择上注意加强探究性。例如，第2.4节特别安排了＂再探实际问题和一元一次方程＂的内容，选择了三个具有一定综合性的问题（＂销售中的盈亏＂＂用哪种灯省钱＂＂球赛积分表问题＂），设置了若干探究点，引导学生利用方程为工具进行具有一定深度的思考，把全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度。这节内容包括：估算与精确计算的比较（探究1），进行开放性的设计（探究2），根据问题的实际背景进行检验，利用方程进行简单推理判断（探究3中已渗透了反证法的思想）。安排这节的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出方程这种数学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力、创新精神和实践意识在更高层次上等到提高。　　4.重视数学思想方法的渗透，关注数学文化　　本章不仅重视数学与实际的联系，列方程和解方程的方法，而且重视数学知识中蕴涵的建模和化归等数学思想方法的渗透。，本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想。虽然考虑到学生的理解能力等原因，教科书没有过多出现＂数学模型＂一词，但是本章多次以框图形式对＂利用一元一次方程解决问题的基本过程＂加以归纳，意在渗透建模思想。为体现化归思想在解方程中具有指导作用，本章中讨论一元一次方程的各个步骤时，都注意点明解方程的目的，即为最终使方程变形为x=a的形式，各种步骤都是为此而实施的，即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下，使＂未知＂逐步转化为＂已知＂。　　本套教科书的特色之一是，使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子。重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵。通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动活泼地介绍古今数学的发展，深入浅出地反映数学的作用（工具作用和人文教育作用），使学生逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。本章对于数学文化予以很大关注，从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数……这些数学史上的重大进步以及有关方程的名著《还原与对消》、埃及纸莎草文书中的问题等在教科书中都有所反映。编者希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶。三、几个值得关注的问题　　1．关注在前面学段的基础上发展，做好从算术到代数的过渡　　本章第2.1节从一个实际问题（行程问题）开始讨论，在引出方程后提出＂从算式到方程是数学的进步＂。算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法。用算术方法解实际问题是前面学段中学生已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力有着打基础的作用。算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式中只含已知数而不包含未知数；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母（未知数）。方程是根据问题中等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之一。由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，所以方程的应用更为方便。这正是用字母表示数带来的好处。　　从课程标准看，在前面学段中已经有关于简单方程的内容，学生已经对方程有初步的认识，会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，即对于方程的认识已经历了入门阶段，具备了一定的感性认识基础，这些基本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了基础。本章的内容是在前面的学习基础上的进一步发展，即对一元一次方程作更系统更深入的讨论，所涉及的实际问题要比以前学习的问题复杂些，更强调模型化思想的渗透；对方程解法的讨论要更注重算理，更强调创设未知向已知转化的条件以及解法中程序化的思想。　　了解以上的联系与区别，有助于在本章教学中注意到应在哪些地方使学生得到新的提高。　　2．关注方程与实际问题的联系，体现数学建模思想
　　我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量问题涉及数量关系的分析，这为学习＂一元一次方程＂提供了大量的现实素材。在本章教科书中，实际问题情境贯穿于始终，对方程解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的，＂列方程＂在本章中占有突出地位，全章教科书按照讨论实际问题的线索而展开。在本章的教学和学习中，要充分注意方程的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程来自实际又服务于实际，加强对于方程是解决现实问题的一种重要数学模型的认识。鉴于本章的学习对象是七年级学生，教科书的叙述力求通俗易懂，在正文中避免过多直接使用＂数学模型＂等词，而是通过具体例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立数学模型的思想。　　设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的相等关系是设未知数、列方程的基础。在本章的教学和学习中，可以从多角度进行思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性。教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用一元一次方程分析和解决它们。　　利用一元一次方程解决问题的基本过程（见前面的图），在本章中反复出现并且逐步细化，这有助于从整体上认识一元一次方程与实际问题的关系，请注意在教学中不断强化对它的认识。　　3．关注方程这条主线，带动相关预备知识的学习
　　从数学学科内部来看，整式及其运算（加减法）是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接。本套教科书不像过去许多数学教科书那样先安排整式，然后再安排一元一次方程，而是将与一元一次方程相关的整式知识分散于本章之中，对它们采取＂够用即可＂的处理方式，回避了一些概念（代数式、同类项等），结合方程的讨论通过例子解释了一些相关运算（合并含未知数的项、去括号等），而将对整式系统深入的讨论留待后面章节完成。前面已经说过这样处理的主要目的是为了突出重点，适当精简整合教学内容，加强应用意识。这样处理与＂先专门安排整式预备知识，后安排方程＂的做法各有优缺点，请在教学实践中对它们进行比较和检验，以便进一步寻求更符合教学实际的处理方案。　　在本章的教学中，希望能够了解教科书的上述变化及其用意，时刻关注教学重点，注意抓住方程这条主线，削枝强干，突出围绕一元一次方程的讨论，带动有关预备知识的学习。特别要把握好本章中所含有的整式知识的深度和广度，不作过多的补充和引申，以免喧宾夺主冲淡主题。　　4．关注培养学习的主动性和探究性　　课程改革的目的之一是促进学习方式的转变，加强学习的主动性和探究性。本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐更容易激起学生对数学的兴趣。在本章的教学中，应注意引导学生从身边的问题研究起，主动收集寻找＂现实的、有意义的、富有挑战性的＂学习材料，并更多地进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，体会数学思想方法。　　在本章的教科书中，安排了许多可提供学生主动进行探究的内容，其中既涉及列方程又涉及解方程，例如2.4节＂再探实际问题与一元一次方程＂就是为提高分析和解决问题的能力而安排的探究性内容，本章的＂数学活动＂及＂拓广探索＂栏目下的习题等也设置了很多探究性问题，采用什么方式进行这些内容的教学是需要关注的问题。具体教学方式可能会因时因地因人而易，但是各种方式都应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何进行探究活动，而不要替代他们思考，不要过早给出答案。应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获。对于解方程过程中较复杂的计算，可以提倡学生运用计算机（器）等计算工具采用灵活方式完成。　　5．关注数学思想方法的教学和学习　　前面已经说过，本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的模型化（包括符号化）的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想。在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于个别题目的具体解题过程，而应关注对以上思想方法的渗透和领会，从整体上认识问题的本质。　　数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教科书的渗透反映，也需要教师的点拨，最终还需要学生自身的感受和理解。数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识，例如对解方程的本质有比较透彻的认识，就容易主动地探究具体方程的解法，这远比死记硬背方程的解法步骤的效果要好。因此，我们需要关注数学思想方法的教学和学习，希望教师在如何深入浅出地进行这方面的教学上不断探索。
　　6．关注基础知识和基本技能，适当加强练习巩固
　　本章内容包括一元一次方程的概念、解法和应用。一元一次方程是最基本的代数方程，对它的理解和掌握对于后续学习（其他的方程以及不等式、函数等）具有重要的基础作用。因此，教学和学习中应注意打好基础。　　由于本章教科书是以分析解决实际问题为线索展开的，许多基础知识隐含于分析解决问题的过程之中，如缺乏对这些基础内容的分析归纳，可能会对它们有所忽视，所以在教学和学习中应注意对它们进行归纳整理，使得基础知识和基本技能在头脑中留下较深刻的印象。从学习心理学的角度看，需要通过必要的练习途径来掌握基础知识和基本技能，所以教学和学习中还要注意适当加强练习。这里所说的＂适当加强＂并非一味强调增加练习的数量，而是强调练习要着重在基础内容上，要加强针对性，使学生打好必需的基本功。对于教科书中的练习题以及＂复习巩固＂＂综合运用＂栏目下的习题，应切实掌握。在此基础上，再探究更高层次的问题（例如＂拓广探索＂栏目下的习题等）。
　　7．关注文化的传承
　　本套教科书力求能够成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，既体现数学的科学性和应用性，又体现数学科学中蕴涵的文化。本章内容不仅涉及数学与实际的关系，渗透建模、化归等思想，而且多处涉及数学上从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数等重大历史发展变化，体现了人类对客观世界中数量关系的不断探究和取得的进展，从中可以看出数学文化的源远流长和人类追求真理的长期努力，折射出科学文明的光辉和人类认识上的伟大创造力。　　教学中除关注要使学生在数学知识和数学能力方面得到提高之外，还需要考虑在传承数学文化方面的工作，结合方程的内容进一步挖掘其文化内涵，通过生动活泼的形式使学生感受丰富的数学文化的熏陶。　　此外，本章内容与实际关系密切，涉及问题广泛，因而与多元文化具有联系。例如，第2.3节的内容是从一个引子出发，即从契诃夫的小说《家庭教师》中的一道＂买布问题＂说起，这样选材也是希望能增加数学教科书的人文色彩。习题2.4第9题的原题是用希腊文写的一首诗，它简要记述了希腊数学家丢番图的生平。这是一道有悠久历史的名题，诗中并没有明确说出丢番图的寿命等数字，但是它们已经隐含于诗中，利用方程可以解出这些数字。此题本身就是数学与文学结合的佳作。类似的例子，还分布于本章的其他之处。在编写本章时，我们有这样的体会，即数学教学应在内容和形式方面更鲜活，更吸引人，这样才能使受教育者的科学、文化素养都得到提高