第六章平面直角坐标系简介

　　课程教材研究所　左怀玲
　　伟大的法国数学家笛卡儿（descartes 1596-1650）创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点．他进而又创立了解析几何学，把相互对立着的＂数＂与＂形＂统一了起来，他的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域．正如恩格斯所说＂数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了．＂
　　平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁．提前安排平面直角坐标系是本套教科书体系安排上的一个特点．原教科书有关平面直角坐标系的内容只有2课时，放在初中三年级＂函数＂一章，作为学习函数的基础知识来安排的．这套教科书将＂平面直角坐标系＂单独设章，8个课时，放在7年级下学期学习，目的是让学生尽早接触平面直角坐标系这种数学工具，尽早感受数形结合的思想．
　　本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）：
　　6.1 平面直角坐标系3课时
　　6.2 坐标方法的简单应用3课时
　　数学活动
　　小结 1课时
　　一、教科书内容和课程学习目标
　　（一）本章知识结构
　　 （二）内容安排
　　本章的主要内容包括平面直角坐标系的有关概念和点与坐标（均为整数）的对应关系，以及用坐标表示地理位置和用坐标表示平移等内容．
　　教科书首先从实际中需要确定物体的位置（如确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置等）出发，引出有序数对的概念，指出利用有序数对可以确定物体的位置，由此联想到是否可以用有序数对表示平面内点的位置的问题，结合数轴上确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，学习平面直角坐标系的有关概念，如横轴、纵轴、原点、坐标、象限，建立点与坐标（整数）的对应关系等．
　　对于坐标方法的简单应用，本章主要学习平面直角坐标系在确定地理位置和表示平移变换中的应用．用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用．本章在安排这部分内容时，首先设置一个观察栏目，让学生观察地图上是怎样利用坐标表示一个地点的地理位置的，从中得到启发，来学习建立坐标系，确定一个地点的地理位置的方法．接下去教科书设置了一个探究栏目，要求学生画出一幅地图，标出学校和三位同学家的位置．要用平面直角坐标系表示地理位置，就要考虑如何建立坐标系的问题，首先是确定原点和坐标轴的正方向，教科书选用了以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立坐标系，并确定一定的比例尺，根据三位同学家的位置情况，在坐标系中标出了这些地点的位置，并归纳给出绘制平面示意图的一般过程．
　　用坐标表示平移，从数的角度刻画了第五章平移的内容，本章主要研究点（或图形）的平移（上、下、左、右平移）引起的点（或图形顶点）坐标的变化，以及点（或图形顶点）坐标的变化引起的点（或图形）的平移．教科书首先设置一个探究栏目，分析在平面直角坐标系中，将一个已知点向右（或向左）平移某个单位长度得到一个新点，这个点的坐标与平移前的点的坐标有什么关系，同样如果将这个点分别向上（或向下）平移某个单位长度得到新的点，这个点与平移前点的坐标又有什么关系，通过分析平移前后点的坐标的变化，发现坐标的变化规律，比如将一个点向右平移某个单位长度，平移后得到的点的坐标是纵坐标不变，横坐标加上这个单位长度；对于图形的平移引起的图形顶点坐标的变化，教课书是在练习中给出的，让学生自己完成．从这个练习的安排上可以看出，本套教材对于练习有一种新的考虑，就是练习不全是对正文内容的复习和巩固，有些练习是正文的一部分，是正文内容的延伸和拓展．接下去教科书讨论了一个三角形顶点坐标的某种有规律变化，引起的三角形的平移．比如，将三角形三个顶点的横坐标都减去某个正数，纵坐标不变，得到三个新的点，连接这三个点，得到一个新的三角形，这个新三角形与原来的三角形在大小、形状和位置上有什么关系等，通过探究发现这两个三角形大小形状完全相同，只是位置不同，实际上是对三角形进行了平移，在此基础上教科书归纳给出有关的规律．
　　（三）课程学习目标
　　1．通过实例认识有序数对，感受它在确定点的位置中的作用；
　　2．认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标（坐标为整数）描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标（坐标为整数）；
　　3．能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用；
　　4．在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换．通过研究平移与坐标的关系，使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数问题与几何问题的相互转换；
　　5．结合实例，了解可以用不同的方式确定物体的位置．
　　二、本章编写特点
　　（一）注意加强知识间的相互联系
　　平面直角坐标系是以数轴为基础的，两者之间存在着密切的联系．平面直角坐标系是由两条相互垂直、原点重合的数轴构成的，坐标平面内点的坐标是根据数轴上点的坐标定义的，平面内点与坐标的对应关系类似于数轴上点与坐标的对应关系等．本章编写时注意突出了平面直角坐标系与数轴的联系．对于平面直角坐标系的引入，教科书首先从学生熟悉的数轴出发，给出点在数轴上的坐标的定义，建立点与坐标的对应关系，在此基础上，教科书类比着数轴，探讨了在平面内确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，给出平面直角坐标系的有关概念．这样通过加强平面直角坐标系与数轴的联系，可以帮助学生更好地理解点与坐标的对应关系，顺利地实现由一维到二维的过渡．
　　（二）突出数形结合的思想，体现平面直角坐标系的作用
　　无论是在数学还是在其他领域，平面直角坐标系都有着非常广泛的应用．
　　在数学科学中，由于平面直角坐标系的引入，架起了数与形之间的桥梁，使得我们可以用几何的方法研究代数问题，又可以用代数的方法研究几何问题．对于平面直角坐标系的这种桥梁作用，本套教科书给予了充分重视．本章中，编写了利用坐标的方法研究平移的内容，从数的角度刻画平移变换，这就用代数的方法研究几何问题，体现了平面直角坐标系在数学中的作用．通过本章的学习，让学生看到平面直角坐标系的引入，加强了数与形之间的联系，它是解决数学问题的一个强有力的工具．
　　用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用．用经纬度表示地球上一个地点的地理位置，用极坐标表示区域内地点的位置，以及用平面直角坐标表示区域内地点的位置等，实际上都是利用了有序数对与点的对应关系，是坐标与点一一对应思想的表现．教科书突出了这种对应关系，利用这种对应关系研究了如何建立坐标系用坐标表示地理位置的问题，使学生体会坐标思想在解决实际问题中的作用．
　　（三）注重学生的认知规律
　　本章编写时，改变了原教科书从数学的角度引出坐标系的做法，而是将本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置展开，从实际生活中确定物体的位置出发引出坐标系，也就是从实际需要引出坐标系这个数学问题，然后展开对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，最后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题，让学生经历由实际问题抽象出数学问题，通过对数学问题的研究解决实际问题的过程．也就是经历了一个由实践—理论—实践的认识过程．
　　（四）内容编写生动生动活泼
　　本章编写时，注意结合本章内容的特点，将枯燥的数学问题赋予有趣的实际背景，使内容更符合学生的年龄特点，激发学生学习数学的兴趣．例如教科书习题6.2的第1题＂三架飞机p、q、r保持编队飞行，分别写出它们的坐标．30秒后，飞机p飞到p位置，飞机q、r飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标＂，这个问题实际上是一个三角形平移的问题，再比如，让学生画出本学校的平面示意图，用坐标表示动画制作过程中小鸭子的位置变化，用坐标表示某地古树名木的位置等，从数学上讲这些都是关于点与坐标对应关系的问题，本章编写时注意给这些数学问题加上一个有趣的背景，增加学生学习本章内容的兴趣．
　　三、几个值得关注的问题
　　（一）密切联系实际
　　本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置展开．教科书首先从建国50周年庆典中的背景图案、确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置等实际出发，引出有序数对，进而引入平面直角坐标系．通过对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，然后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题（如确定同学家的位置等），让学生经历由实际问题抽象出数学问题，通过对数学问题的研究解决实际问题的过程．这样的一种处理，不是从数学角度引入平面直角坐标系，而是密切联系生活实际，从实际的需要出发学习直角坐标系．教学中可以结合学生的实际情况，利用学生周围熟悉的素材学习本章内容，让学生充分感受平面直角坐标系在解决实际问题中的作用．
　　（二）准确把握教学要求
　　对于某些重要的概念和方法，本套教科书采用了螺旋上升的编排方式．例如，对于平移变换，教课书首先在上一章＂相交线与平行线＂中安排了一节＂平移＂，探讨得出＂对应点的连线平行且相等＂等平移变换的基本性质；在本章又安排了一小节＂用坐标表示平移＂的内容，用坐标刻画了平移变换，从数的角度进一步认识平移变换；对平移变换以后还要继续学习，例如在本册书第10章＂实数＂进一步安排了在实数范围内研究平移的内容，在八年级下册＂四边形＂一章中，将对＂对应点的连线平行且相等＂这条平移变换的基本性质进行论证，为后续学习利用平移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础．
　　对于平面直角坐标系，本章只要求学生会在方格纸中建立直角坐标系，能根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标，其中点的坐标都是整数，这实际研究了点与有序整数对的对应关系，在第10章＂实数＂将把点的坐标扩展到实数范围，并建立点与有序实数对的一一对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等问题打下基础．因此，教学中要注意内容安排的这个特点，准确把握本章对于平移变换和平面直角坐标系的教学要求，以一个动态的、发展的观点看待教学要求．
　　 （三）注意留给学生思考的空间
　　本章编写时，注意结合本章内容特点，利用一些＂探究＂＂思考＂＂归纳＂等栏目，给学生留出了较大的思考空间．例如，在第6.2.2小节中，教科书首先设置一个＂探究＂栏目，让学生探究将几个已知坐标的点上、下、左、右的平移后得到新的点，各对应点之间的坐标有怎样的变化规律，接下去就设置一个＂归纳＂栏目，栏目中留有空白，让学生写出平移过程中对应点的坐标的变化规律，这实际上让学生经历一个由特殊到一般的归纳过程．对于这个规律的获得，教科书仅用了两个栏目，很少的篇幅，这样实际上给学生留出了较大的探索空间，因此教学中，要注意留给学生足够的时间，使学生充分活动起来，通过探究发现并总结规律．对于这些规律，不要让学生死记硬背，要让学生在坐标系中，结合图形的变换理解这些结论