第八章二元一次方程组简介

　　课程教材研究所 田载今
　　一、本章主要内容和课程学习目标
　　（一）本章主要内容
　　本章属于《课程标准》中的＂数与代数＂部分．
　　涉及求多个未知数的问题是普遍存在的，而方程组是解决这些问题的有力工具．本章在学生对一元一次方程已有认识的基础上，对二元一次方程组进行讨论，并由此为今后进一步学习方程组及不等式组奠定基础．
　　本章的主要内容包括：利用二元一次方程组分析与解决实际问题，二元一次方程组及其相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组．其中，以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是全章重点，同时也是教学中的难点．
　　使学生经历建立二元一次方程组这种数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程组的特点和作用，掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，是本章的中心任务．由于含有多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点．
　　全章共包括三节：
　　8．1 二元一次方程组
　　8．2 消元
　　8．3 再探实际问题和二元一次方程组
　　第8．1节首先从一个篮球联赛中的问题入手，引导学生直接用x和 表示两个未知数，并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个相关的方程．然后，教科书以这两个具体方程为例，让学生体验二元一次方程、二元一次方程组的特征，归纳出二元一次方程组及其解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解．
　　第8．2节的标题＂消元＂点出了这一节的核心．二元一次方程组含有两个未知数，如果消去其中一个未知数，由两个方程得出一个方程，就得到前面已学习过的一元一次方程，由它可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数．这一节首先从讨论解方程组的需要出发，引导学生从解决问题的基本策略的角度认识消元思想．然后，教科书依次讨论了两种通过消元解方程组的常用方法——代入法和加减法，并结合具体问题用框图形式表示了这两种解法的一般过程．
　　本章最后的8．3节特别安排了＂再探实际问题与二元一次方程组＂的内容，选择了三个具有一定综合性的问题（ ＂牛饲料问题＂＂种植计划问题＂＂成本与产出问题＂ ），提供给学生利用方程组为工具进行具有一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践，把全章所强调的以方程组为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度．为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较（探究1），开放地寻求设计方案（探究2），根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组（探究3）．安排这节的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力．
　　本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴涵的建模思想；在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元化归思想．后一讨论也是在解决实际问题的背景下进行的．
　　此外，本章对于数学文化也予以关注，＂阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法＂中，从《九章算术》中有关一次方程组的算筹表示和解法说起，联系现代的矩阵表示和解法，介绍了中国古代数学的光辉成就．编者希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶．
　　（二）本章知识结构
　　1．利用二元一次方程组解决问题的基本过程
　　2．本章知识安排的前后顺序
　　（三）课程学习目标
　　概括地说，本章教学应考虑以下四个目标：
　　1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历＂分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果＂的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型．
　　2．了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系．
　　3．了解解二元方程组的基本目标（使方程组逐步转化为x=a， 的形式），体会＂消元＂思想，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法．
　　4．通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程（见下图），体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
　　（四）课时安排
　　本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：
　　8．1 二元一次方程组 1课时
　　8．2 消元 4课时
　　8．3 再探实际问题和二元一次方程组 3课时
　　数学活动
　　小结 2课时
　　 二、本章的编写特点
　　本章的编写在指导思想和内容安排方面具有两个主要特点．
　　（一）注重知识的实际背景，突出建摸思想
　　同七年级上册的第二章＂一元一次方程＂一样，在本章的各个阶段编者选择了一些比较典型的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料．实际问题始终于贯穿全章，对二元一次方程组及其相关概念的引入和对二元一次方程组解法的讨论，是在建立和运用方程组这种数学模型的过程之中进行的．
　　本章开篇的引入问题是篮球联赛中的胜负场数问题，虽然这个问题可以用已学的一元一次方程解决，但是直接设两个未知数列方程组是顺理成章的解法，本章就从这个想法出发引入新课题．在后面关于两种消元解法的讨论中，教科书也注意结合实际问题，把列方程组和解方程组结合起来．最后的8．3节的设计意图为：使学生在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题中的数量关系、设未知数、列方程组并解方程组、检验结果的合理性等能力，感受建立数学模型的作用．这一节共安排了三个实际问题，这些问题比前面的问题更接近现实，数量关系相对比较隐蔽，因此这些问题的分析解决难度比以前的问题也要大些．对于这些问题，教学中应发挥自主学习的积极性，引导学生先独立探究，再进行合作交流．
　　（二）注重解法背后的算理，强调消元思想
　　方程组中含有多个未知数，消元思想——解方程组时＂化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决＂的基本策略，是产生具体解法的重要基础，而代入法和加减法则是落实消元思想的具体措施．本章在有关方程组解法的讨论中，注意了先使学生了解消元的基本思想，然后在其指导下寻求解决问题的具体方法，从而使具体解法的合理性凸现出来．
　　在提出消元思想后，教科书对一种具体的消元解法的过程进行了归纳，即对代入法的基本步骤进行概括．代入法通过＂把一个方程（必要时先做适当变形）代入另一个方程＂实现消元．教学中应注意引导学生认识到为什么要实施这样的步骤，把具体做法与消元结合起来，使学生明确如此操作的目的性．类似地，教科书在两个简单例子之后，对另一种具体的消元解法——加减法的过程进行了归纳．加减法通过＂把两个方程相加减＂实现消元，而加减的条件是＂两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反＂．教学中仍应注意引导学生认识到为什么要实施这样的步骤，把具体做法与消元结合起来，使学生明确如此操作的目的性．教科书还以框图形式表示了两种解法的程序，突出了它们是如何实现消元这一关键步骤的．
　　加减法和代入法的共同点是，它们都是通过消元解方程组，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个未知数；它们的不同点是，消元的方法不同，或通过＂代入＂或通过＂加减＂．对一个方程组用哪个消元方法解都可以，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法．为使学生认识这些，可以引导他们用不同方法解同一方程组，然后对不同方法加以比较，逐步积累经验，提高选择能力．
　　三、几个值得关注的问题
　　前面已介绍了本章的主要内容、教学目标、编写特点等，使用本章教材进行教学时，应关注下面的问题．
　　（一）注意在对方程已有认识的基础上发展，做好从一元到多元的转化
　　本章从一个篮球联赛中的胜负场数问题开始讨论，其中含有两个未知数．在此之前学生已经学习过一元一次方程的内容，用代数方法解决上述问题有两种不同方法：一种方法是设一个未知数为 ，并用含有 的式子表示另一个未知数，根据问题中的等量关系列出一元一次方程；另一种方法是直接设两个未知数 和 ，根据问题中的等量关系列出两个二元一次方程，由它们组成方程组．比较这两种方法，可以发现，第一种方法的难点在于＂列＂，第二种方法的难点在于＂解＂．由于列一元一次方程时要综合考虑问题中的各等量关系，因此有一定难度，但是学生已经熟悉一元一次方程的解法；列二元一次方程组时可以分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程，一般说这比将这个问题列成一个一元一次方程容易，但是由于方程中出现两个未知数，因此如何解方程组成为新问题．用方程组是新方法，这种方法对于解含有多个未知数的问题很有效，并且它的优越性会随着问题中未知数个数的增加体现得更明显．二元一次方程组是方程组中最基本的类型，通过学习它可以了解一般的一次方程组，提高对多元问题的认识．
　　由于前面已学一元一次方程的内容，学生已经对方程有一定的认识，会用一元方程表示实际问题中的数量关系，会解一元一次的方程．从解法上说，多元方程消元后要化归为一元方程，即对一元一次方程的认识为进一步学习二元一次方程组奠定了基础．本章的内容是在前面基础上的进一步发展，即对由＂一元＂向＂多元＂发展，所涉及的实际问题未知数多，数量关系较复杂，解法步骤也增加了＂消元＂和＂回代＂，更强调未知向已知转化中解法程序化的思想． 本章学习中，应注意所学内容与前面有关内容的联系与区别，明确本章内容的特点，做好从＂一元＂向＂多元＂的转化．
　　（二）关注实际问题情景，体现数学建模思想
　　现实中存在大量问题涉及多个未知数，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习＂二元一次方程组＂提供了大量的现实素材．在本章教科书中，实际问题情境贯穿于全章，对方程组解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的，＂列方程组＂在本章中占有突出地位．在本章的教学和学习中，要充分注意二元一次方程组的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程组来自实际又服务于实际，加强对方程组是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．本章明确提出＂方程组是解决含有多个未知数问题的重要数学工具＂，并在多处体现方程组在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立模型的思想．
　　设未知数、列方程组是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的多种等量关系是设未知数、列方程组的基础．在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性．教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用二元一次方程组分析解决它们．
　　利用二元一次方程组解决问题的基本过程（见前面的图），在本章中小结中出现，它与第2章中利用一元一次方程解决问题的基本过程图基本一致．通过用框图概括这样的基本过程，可以再次加强从整体上认识方程（组）模型与实际问题的关系，在教学、学习和复习时对此应予以注意．
　　（三）重视解多元方程组中的消元思想
　　本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想，这已在上面进行了讨论；另一个是解方程组的过程中蕴涵的消元化归思想，它在解方程组中具有指导作用．解二元一次方程组的各个步骤，都是为最终使方程组变形为x=a， 的形式而实施的，即在保持各方程的左右两边相等关系的前提之下，使＂未知＂逐步转化为＂已知＂．解多元方程组的基本策略是＂消元＂，即逐步减少未知数的个数，以至使方程组化归为一元方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数．代入法和加减法都是消元解方程组的方法，只是具体消元的手法有所不同．
　　在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质．数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，而对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解．如果认识了消元思想，那么对于代入法、加减法等的具体步骤就不会仅是死记硬背，而能够顺势自然地理解，并能够灵活运用．从这里也能够看出：数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识．
　　（四）加强学习的主动性和探究性
　　设计本章教科书的内容和结构时，比较注意加强学习的主动性和探究性．本章内容涉及许多实际问题，多彩的问题情境容易激起学生对数学的兴趣．在本章的教学中，应注意引导学生从身边的问题研究起，主动收集寻找＂现实的、有意义的、富有挑战性的＂问题作为学习材料，并更多地进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力．
　　对于第8．3节＂再探实际问题与二元一次方程组＂，应不等同于一般例题内容的教学，而以探究学习的方式完成．本章的＂数学活动＂及＂拓广探索＂栏目下的习题等都设置了带有探究性的问题．对于这些内容的教学应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不要替代他们思考，不要过早给出答案．应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获．
　　（五）注重对于基础知识的掌握，提高基本能力
　　本章中二元一次方程组的基本概念和消元解法是基础知识，通过列、解二元一次方程组分析解决实际问题是基本能力，它们对于今后进一步学习有重要作用．教学和学习中应注意打好基础，切实掌握基本方法，并力求能够较灵活地运用它们，逐步培养提高基本能力．由于本章教科书多处以分析解决实际问题为线索展开，而将基础知识寓于分析解决问题的过程之中，所以教学和学习中应注意对基础知识进行提炼、归纳、整理，对基础知识和基本能力要有清晰的认识，需要通过必要的练习途径来掌握基础知识和提高基本能力．对于代入法和加减法解二元一次方程组的基本过程，要一一切实掌握，可以通过具体案例结合教科书中的框图加深认识．对于教科书中的练习题以及＂复习巩固＂＂综合运用＂栏目下的习题，应切实掌握．在此基础上，再探究更高层次的问题（例如＂拓广探索＂栏目下的习题等）．
　　（六）关注相关的数学文化
　　本套教科书力求能够成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，既体现数学的科学性和应用性，又体现数学科学中蕴涵的文化．人们运用方程组解决含有多个未知数的问题已有很长的历史，这个问题对于代数学的发展起了重要的促进作用，现代高等代数中的许多内容都起源于对线性方程组的研究．中国古代数学在方程及方程组的研究方面也有许多成果，例如，著名的＂鸡兔同笼＂问题就是可以利用方程组解决的多元问题，《九章算术》等古代数学著作中也记载了有关方程组的一些内容．它们体现了人类对客观世界中数量关系的不断探究，从中可以看出人类追求真理的长期努力，折射出科学文明的源远流长．本章教科书对于这方面的内容有所反映，教学中除关注学生在数学知识和能力方面得到提高之外，还可以考虑在传承数学文化方面的工作，结合方程组的内容进一步挖掘其文化内涵，使学生进一步受到数学文化的熏陶