师：最近小强热线里面,刘老汉遇到了一个难题。 （课件出示）我有两根木料，现在要把它们锯成同样长的小木料（小木料要整分米长），不能剩余。每段小木料可以是几分米长？最长是几分米？ （学生独立思考） 师：你有什么不明白的地方？ 生：什么叫整分米长？ 师：谁知道整分米长？ 生：整分米长就是没有多余的。 师：还有不明白的么？这个不能剩余是什么意思？ 生：不能有浪费的吧。 师：你能不能静静想一想，用我们学过的数学知识帮助这个刘老汉解决这个问题。（表扬习惯好的学生） 师：独立地静静地思考。 师：很多人都有智慧的结晶，我们小组内轻轻地交流一下，你是怎样想的？ （生小组讨论，师巡视指导） 师：哪个组来向大家汇报一下？ 生1：我代表我们组发言，我们组有三种答案：1、2、4。 师：就三种啊？我发现两个同学没认真在听，人家智慧的结晶要认真听！ 生1：12能被1、2、3、4、6、12整除，16能被1、2、4、8、16整除…… 师：这么长的一段话，你能听明白吗？ 生：听明白了。 师：听明白了？那你们认为3分米行不行？ 生：不行。 师：为什么不行。 生：12分米的那根可以的。16分米的那根就有剩余了。 师：同意吗？那5分米呢？ 生：两个都不行。 师：通过刚才的学习讨论，你有什么发现？ 生1：我发现就是（很难表达的样子……） 师：很难表达是吗？你手上东西拿得那么宝贝，是不是可以帮你说明问题。 生1：把16和12的因数分出来，再找出一样的因数 师：听清楚了么? 在你的草稿纸上找找看,根据他的意见.找好了马上举手。 (生独立思考) (展示一学生的作业) 师：你是什么意思? 生：……公因数。 师：怎么写？我觉得公有的公比较好。板书：公因数。你怎么想到的？ 生：就是公有的数，公共的。 师：谁听不明白了？ 生：就是两组里面相同的数就是公因数。 师：同意么？ 生：同意。 师：葛老师有个意见，他这样的写法，你们觉得还少点什么？前面应该加上什么？ 生：加上16的因数：和12的因数：。 师：你们的意思就是说是16又是12的公因数 就可以了。而且16和12的公因数只有1、2、4三个。刚才我看到那个xx的材料里面用集合圈表示的方式。这种方式表示的话，你们会不会？ 师：一起来吧。怎么写，我们还是听你说吧？ （生写1、2、4，在中间的集合圈） 生：8、16。 师：还有么？1、2、4不写了？ 生：他已经写到中间去了。 师：那这边呢？ 生：12、6、3。 师：没了？ 生：没了。 师：这样写有什么好处？ 生：这样可以看得很清楚。 师：同意么？ 生：同意。 师：他使我们很直观很清楚的看出来，哪些是16和12的公因数。谁是公因数，你们理解了没有。 生：还有一个最大的公因数4。 师：今天这节课我们主要来学习公因数和最大公因数。现在我们来研究第二个问题。 （出示两句话：1、2、4是16和12共有的因数，所以他们是16和12的公因数。 在这些公因数中4是最大的公因数，所以它是16和12的最大公因数。） （生读） 师：我听陈老师说，我们语文里学过缩句。你能不能把这两句也来缩成很简单的一句话？ 师：反过来说，有没有什么意见？ 生：没有。 （师根据学生回答板述：1、2、4是16和12的公因数，4是16和12的最大公因数） 师：你现在对这个公因数和最大公因数理解了没有？ 生：理解了。 师：下面我们来练一练。不用草稿纸，看大屏幕。（出示12和15、20和5）请你快速判断，下面这两组数中有没有公因数2？下面是第一小组的同学独领风骚。 生：没有。 师：你来说说为什么？ 同意么？ 生：同意。 师：那有没有公因数3呢？ 生：第一组里面有的，12有3、4、12，15有3、5、15。 师：你怎么这么快看出来，它们都有公因数3的？ 生：一个数各个数位的和能被3整除就是3的倍数。 师：那你们认为第二组就没有喽？那第二组有哪些公因数？ 生：有5。 师：我不喜欢说话不完整的同学，你能不能说完整。 生：20和5里面有公因数1和5。 师：你们的意见呢？ 师：我们的数学思考就是要我们深入地想，全面地想，要说完整。 那么，这个20除了我们刚才讲的1和5外，还有哪些因数？ 师：我们班通过刚才帮刘老汉解决困难，学到了新知识。看来，这个助人为乐是利人也利已啊。 师：下面的时间我们主要来研究怎样求两个数的最大公因数。（出示：18和27的最大公因数是（））。每一个人你静静地想一想，你有几种不同的方法？ （生独立思考，师巡视指导） 师：小组内交流一下，你们组有几种不同的方法。 （小组内交流） 生1： 生2：我觉得他可以用刚才学过的集合圈来表示。 生3：我的这种方法有限制。 师：他给人启发。 你也有启发了，你来说。 生4：可以分解质因数。 师：什么是分解质因数。 （展示该生的作业）（生自己介绍） 师： 同学，这个方法你是怎么想出来的。 师：这种分解质因数来求两个自然数的最大公因数在我们人教版的教材中是不作要求的。在以前的老教材里是非常强调的。 同学一不小心就发现了科学家们发现数学真理，真了不起。如果说对他的方法感兴趣的话，你课后可以跟他一起去研究研究。这些方法都是可以来帮助我们来求出他们的最大公因数。你掌握了没有？会不会求？ 师：下面比一比，我们六个小组来比一比完成信封里的作业纸。第一题，预备开始。 （小组开展竞赛） 师：做好马上举手。看清楚题目，不要一昧求快。 师：看来第一轮的比赛，第一组和第五组表现不错。继续第二题开始。 （生独立完成第二题） 师：比一比谁做得又快，又对，又好。我们请第二组刚才表现得不是很好，派一个代表来说。 （生汇报交流） 师：请仔细观察每个组的两个自然数及他们的最大公因数。你发现了什么？ 生：两个自然数是倍数关系的话，小的那个就是最大公因数。 师：他说什么了？ 师：举例证明……。 生2：比如16和32。 生3：如果两个数有一个是质数的话，最大公因数就是1。 生4：不一定。如3和15。 生5：2和4。 师：还没成熟。下面我还有个问题：为什么8和9的最大公因数是1呢？ 生6：两个数一个是奇数，一个是偶数。 师：一个是奇数一个是偶数而且是相邻最大公因数是1。（生自主讨论） 师：举例证明。 生7：有一个数是1的话，他的最大公因数就是1。 生8：最大的公因数一定在两个数的相差之内。 师：相差之内是什么意思？ 生8：相差之内就是他们的差不可能大于其中的一个数。 师：有什么证据么？ 生8：你随便拿两个数。 生9：我反对。21和4呢？ 生8：最大公因数是1，21－4是17，1在17之内的。 师：对的。我们把这个问题，有兴趣的话可以拿到以后去研究。这个问题很值得我们探讨。像这样的两个自然数他们的最大公因数是1，因数只有1。像这样的两个数，我们把他叫做互质数。像这样的互质数，你们能不能举个例子？ 生：101、102。 师：你这个是相邻的两个自然数，可以找其他的么？ 生：两个数都是质数就可以了。 师：举个例子。不是两个质数的可以么，一个质数，一个合数行不行？ 生：2和9。 师：两个合数行不行？像这样的研究你会发现是很有意思的，对我们以后要学习的知识起到很大的帮助。 师：学到这里，你觉得这堂课有什么收获。谁没有发言的？ 生：知道了什么是公因数和最大公因数。 师：那你说什么是公因数和最大公因数。 师：继续往下做。（出示思考题：我们家的贮藏室长18dm，宽12 dm，如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的砖都是整块）。你认为正方形地砖的边长可以是（ ）分米？其中边长最大的是（ ）分米？）。 （生汇报） 师：如果说我们刚才研究的是两个自然数的最大公因数，课后你们还可以去研究一下三个自然数的最大公因数。