充要条件与反证法
知识梳理
1.充分条件:如果p q,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
2.必要条件:如果q p,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
3.充要条件:如果既有p q,又有q p,记作p q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
点击双基
1.ac2>bc2是a>b成立的
a.充分而不必要条件b.充要条件
c.必要而不充分条件d.既不充分也不必要条件
解析:a>b ac2>bc2,如c=0.
答案:a
2.(XX年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
a.甲是乙的充分条件但不是必要条件
b.甲是乙的必要条件但不是充分条件
c.甲是乙的充要条件
d.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析:命题甲:a·b=a·c a·(b-c)=0 a=0或b=c.
命题乙:b=c,因而乙 甲,但甲 乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案:b
3.(XX年浙江,8)在 abc中,＂a>30 ＂是＂sina> ＂的
a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件
c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件
解析:在 abc中,a>30 0<sina<1 sina> ,sina> 30 <a<150
a>30 .
＂a>30 ＂是＂sina> ＂的必要不充分条件.
答案:b
4.若条件p:a>4,q:5<a<6,则p是q的______________.
解析:a>4 5<a<6,如a=7虽然满足a>4,但显然a不满足5<a<6.
答案:必要不充分条件
5.(XX年春季上海,16)若a、b、c是常数,则＂a>0且b2-4ac<0＂是＂对任意x r,有ax2+bx+c>0＂的
a.充分不必要条件b.必要不充分条件
c.充要条件d.既不充分也不必要条件
解析:若a>0且b2-4ac<0,则对任意x r,有ax2+bx+c>0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c>0时,也有对任意x r,有ax2+bx+c>0.因此应选a.
答案:a
典例剖析
【例1】 使不等式2x2-5x-3 0成立的一个充分而不必要条件是
a.x<0 b.x 0
c.x {-1,3,5}d.x - 或x 3
剖析: 2x2-5x-3 0成立的充要条件是x - 或x 3, 对于a当x=- 时 2x2-5x-3 0.同理其他也可用特殊值验证.
答案:c
【例2】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明:(1)必要性,即＂若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0＂.
x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
(2)充分性,即＂若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根＂.
把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+c. a+b+c=0, x=1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0(a 0)至少有一负根的充要条件.
证明:必要性:
(1)方程有一正根和一负根,等价于
a<0.
(2)方程有两负根,等价于
0<a 1.
综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0<a 1.
充分性:由以上推理的可逆性,知当a<0时方程有异号两根;当0<a 1时,方程有两负根.故a<0或0<a 1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案:a<0或0<a 1.
【例3】 下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因.
(1)x2=x+2是x =x2的充分条件;
(2)x2=x+2是x =x2的必要条件.
解:(1)x2=x+2是x =x2的充分条件是指x2=x+2 x =x2.
但这里＂ ＂不成立,因为x=-1时,＂ ＂左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:
x2=x+2 x= x2=x .
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
(2)x2=x+2是x =x2的必要条件是指x =x2 x2=x+2.
但这里＂ ＂不成立,因为x=0时,＂ ＂左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
x =x2 =x x+2=x2.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x =x2的真值集合是{0,2},{-1,2} {0,2},而{0,2} {-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.
闯关训练
夯实基础
1.(XX年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的
a.充分不必要条件b.必要不充分条件
c.充要条件d.既不充分也不必要条件
解析:依题意有p r,r s,s q, p r s q.但由于r p, q p.
答案:a
2.(XX年北京高考题)＂cos2α=- ＂是＂α=kπ+ ,k z＂的
a.必要不充分条件b.充分不必要条件
c.充分必要条件d.既不充分又不必要条件
解析:cos2α=- 2α=2kπ α=kπ .
答案:a
3.(XX年海淀区第一学期期末练习)在 abc中,＂a>b＂是＂cosa<cosb＂的
a.充分不必要条件b.必要不充分条件
c.充要条件d.既不充分也不必要条件
解析:在 abc中,a>b cosa<cosb(余弦函数单调性).
答案:c
4.命题a:两曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0相交于点p(x0,y0),命题b:曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ为常数)过点p(x0,y0),则a是b的__________条件.
答案:充分不必要
5.(XX年北京,5)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是
a.a (- ,1]b.a [2,+ )
c.α [1,2]d.a (- ,1] [2,+ )
解析: f(x)=x2-2ax-3的对称轴为x=a, y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2] (- ,a]或[1,2] [a,+ ),即a 2或a 1.
答案:d
6.已知数列{an}的前n项和sn=pn+q(p 0且p 1),求数列{an}成等比数列的充要条件.
分析:先根据前n项和公式,导出使{an}为等比数列的必要条件,再证明其充分条件.
解:当n=1时,a1=s1=p+q;
当n 2时,an=sn-sn-1=(p-1)·pn-1.
由于p 0,p 1, 当n 2时,{an}是等比数列.要使{an}(n n*)是等比数列,则 =p,即(p-1)·p=p(p+q), q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p 0且p 1且q=-1.
再证充分性:
当p 0且p 1且q=-1时,sn=pn-1,
an=(p-1)·pn-1, =p(n 2),
{an}是等比数列.
培养能力
7.(XX年湖南,9)设集合u={(x,y)|x r,y r},a={(x,y)|2x-y+m>0},b={(x,y)|x+y-n 0},那么点p(2,3) a ( ub)的充要条件是
a.m>-1,n<5b.m<-1,n<5
c.m>-1,n>5d.m<-1,n>5
解析: ub={(x,y)|n<x+y},将p(2,3)分别代入集合a、b取交集即可. 选a.
答案:a
8.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0, ①
x2-4mx+4m2-4m-5=0. ②
求使方程①②都有实根的充要条件.
解:方程①有实数根的充要条件是δ1=(-4)2-16m 0,即m 1;
方程②有实数根的充要条件是δ2=(4m)2-4(4m2-4m-5) 0,即m - .
方程①②都有实数根的充要条件是- m 1.
9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明:反证法:
假设三个方程中都没有两个相异实根,
则δ1=4b2-4ac 0,δ2=4c2-4ab 0,δ3=4a2-4bc 0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2 0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0. ①
由题意a、b、c互不相等, ①式不能成立.
假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
探究创新
10.若x、y、z均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,则a、b、c中是否至少有一个大于零?请说明理由.
解:假设a、b、c都不大于0,即a 0,b 0,c 0,则a+b+c 0.
而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
π-3>0,且无论x、y、z为何实数,
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2 0,
a+b+c>0.这与a+b+c 0矛盾.因此,a、b、c中至少有一个大于0.
思悟小结
1.要注意一些常用的＂结论否定形式＂,如＂至少有一个＂＂至多有一个＂＂都是＂的否定形式是＂一个也没有＂＂至少有两个＂＂不都是＂.
2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
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教学点睛
1.掌握常用反证法证题的题型,如含有＂至少有一个＂＂至多有一个＂等字眼多用反证法.
2.强调反证法的第一步,要与否命题分清.
3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
拓展题例
【例题】 指出下列命题中,p是q的什么条件.
(1)p:0<x<3,q:|x-1|<2;
(2)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;
(3)p:c=0,q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.
解:(1)p:0<x<3,q:-1<x<3.
p是q的充分但不必要条件.
(2)p q,q p.p是q的必要但不充分条件.
(3)p是q的充要条件.
评述:依集合的观点看,若a b,则a是b的充分条件,b是a的必要条件;若a=b,则a是b的充要条件.