直线与平面垂直的判定（一）

　　一、教学目标
　　1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。
　　2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
　　3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
　　二、教学重点、难点
　　1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
　　2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
　　三、课前准备
　　1.教师准备：教学课件
　　2.学生自备：
　　三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板
　　四、教学过程设计
　　1.直线与平面垂直定义的建构
　　（1） 动体的特征，对＂线面垂直＂有了一些初浅认识和感知，在高中阶段，创设情境
　　①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？
　　②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？
　　③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
　　（2）观察归纳
　　①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？
　　②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
　　③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。
　　定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l α.
　　直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点p叫做垂足。
　　用符号语言表示为：
　　（3）辨析（完成下列练习）：
　　①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
　　②若a α,bα，则a b。
　　在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。
　　在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆ab所在直线与过点b的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆ab所在直线与地面内任意一条不过点b的直线b1c1也垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。
　　在辨析问题中，解释＂无数＂与＂任何＂的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：
　　2.直线与平面垂直的判定定理的探究
　　（1）设置问题情境
　　提出问题：学校广场上树了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？
　　（2）折纸试验
　　如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过 abc的顶点a翻折纸片，得到折痕ad，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（bd、dc与桌面接触）.观察并思考：
　　①折痕ad与桌面垂直吗？
　　②如何翻折才能使折痕ad与桌面所在的平面垂直？
　　③多媒体演示翻折过程。
　　（3）归纳直线与平面垂直的判定定理
　　①思考：由折痕ad bc，翻折之后垂直关系，即ad cd，ad bd发生变化吗？由此你能得到什么结论？
　　②归纳出直线与平面垂直的判定定理。
　　定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
　　用符号语言表示为：
　　在讨论实际问题时，学生同桌合作进行试验（将铁丝当旗杆，桌面当地面）后交流方案，如用直角三角板量一次，量两次等。教师不作点评，说明完成下面的折纸试验后就有结论。
　　在折纸试验中，学生会出现＂垂直＂与＂不垂直＂两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析＂不垂直＂的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕ad是bc边上的高，即ad bc，翻折后折痕ad就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。
　　在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合＂两条相交直线确定一个平面＂的事实，简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后，学生试用图形语言表述，练习本上画图，可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况（如图），教师加以说明，同时给出符号语言表述。
　　在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调＂两条＂、＂相交＂缺一不可，并结合前面＂检验旗杆与地面垂直＂问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，这充分体现了＂直线与平面垂直＂与＂直线与直线垂直＂相互转化的数学思想。
　　3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用
　　（1）尝试练习：
　　求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。
　　学生根据题意画图，将其转化为几何命题：不妨设
　　请三位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，同时指出：这为证明＂线线垂直＂提供了一种方法。
　　（2）尝试练习：如图，有一根旗杆ab高8m，它的顶端a挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）c、d。如果这两点都和旗杆脚b的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直.为什么？
　　本题需要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后，对照课本p69例1,完善自己的解题步骤。
　　（3）尝试练习：如图，已知a b，a α，求证：b α。
　　此题有一定难度，教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，对照课本p69例2,完善自己的解题步骤。
　　4.总结反思
　　（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
　　（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？
　　（3）本节课你还有哪些问题？
　　学生发言，互相补充，教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示），同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调＂平面化＂是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教师作好记录，以便查缺补漏。
　　5.布置作业
　　（1）如图，点p是平行四边形abcd所在平面外一点，o是对角线ac与bd的交点，且pa=pc，pb=pd.
　　求证：po 平面abcd
　　（2）课本p70 练习2
　　（3）探究：如图，pa 圆o所在平面，ab是圆o的直径，c是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？
　　【板书设计】
　　教学设计说明
　　在这次新课程数学教学内容中，立体几何不论从教材编排还是教学要求上都发生了很大变化，因而，我在本节课的处理上也作了相应调整，借助多媒体辅助教学，采用＂引导—探究式＂教学方法。整个教学过程遵循＂直观感知—操作确认—归纳总结＂的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度，同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面：
　　1.线面垂直的定义没有直接给出，而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上，借助动画演示帮助学生概括得出，并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避免了学生死记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。
　　2.线面垂直的判定定理不易发现，在教学中，通过创设问题情境引起学生思考，安排折纸试验，讨论交流，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中获取知识。教师尽量少讲，学生能做的事就让他们自己去做，使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
　　3.本节中教师不作例题示范，而是让学生先尝试完成，后讲评明晰。为更好地巩固判定定理，设置了有梯度的练习，其中练习（1）是补充题，是判定定理的最简单的运用。作业中增加了基础题（第1题）和开放性题目（第3题），这样，有助于培养学生的发散思维，使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行交流的能力。
　　4.以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。