上学期2。8对数函数

　　教学目标
　　1.  在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．
　　2.  通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．
　　3.  通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．
　　教学重点，难点
　　重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．
　　难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．
　　教学方法
　　启发研讨式
　　教学用具
　　投影仪
　　教学过程
　　一.  引入新课
　　今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．
　　反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．
　　提问：什么是指数函数 ? 指数函数存在反函数吗 ?
　　由学生说出    是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程：
　　由    得    ．又    的值域为    ，
　　所求反函数为     ．
　　那么我们今天就是研究指数函数的反函数 ----- 对数函数．
　　2 ． 8 对数函数  ( 板书 )
　　一.  对数函数的概念
　　1.  定义：函数    的反函数    叫做对数函数．
　　由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗 ? 最初步的认识是什么 ?
　　教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为    ，对数函数的值域为    ，且底数    就是指数函数中的    ，故有着相同的限制条件    ．
　　在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．
　　二．对数函数的图像与性质  ( 板书 )
　　1.  作图方法
　　提问学生打算用什么方法来画函数图像 ? 学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．
　　由于指数函数的图像按    和    分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以 1 为分界线分成两种情况    和    ，并分别以    和    为例画图．
　　具体操作时，要求学生做到：
　　(1)  指数函数    和    的图像要尽量准确 ( 关键点的位置，图像的变化趋势等 ) ．
　　(2)  画出直线    ．
　　(3)    的图像在翻折时先将特殊点    对称点    找到，变化趋势由靠近    轴对称为逐渐靠近    轴，而    的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在    左侧的先翻，然后再翻在    右侧的部分．
　　学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出
　　和    的图像． ( 此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内 ) 如图：
　　2.  草图．
　　教师画完图后再利用投影仪将    和    的图像画在同一坐标系内，如图：
　　然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质 ( 要求从几何与代数两个角度说明 )
　　3.  性质
　　(1)  定义域：
　　(2)  值域：
　　由以上两条可说明图像位于    轴的右侧．
　　(3)  截距：令    得    ，即在    轴上的截距为 1 ，与    轴无交点即以    轴为渐近线．
　　(4)  奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于    轴对称．
　　(5)  单调性：与    有关．当    时，在    上是增函数．即图像是上升的
　　当    时，在    上是减函数，即图像是下降的．
　　之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正 ? 学生看着图可以答出应有两种情况：
　　当    时，有    ；当    时，有    ．
　　学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在 1 的同侧时函数值为正，当底数与真数在 1 的两侧时，函数值为负，并把它当作第 (6) 条性质板书记下来．
　　最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆． ( 特别强调它们单调性的一致性 )
　　对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．
　　三．简单应用  ( 板书 )
　　1.  研究相关函数的性质
　　例1.   求下列函数的定义域：
　　(1)  (2)   (3)
　　先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．
　　2.  利用单调性比较大小  ( 板书 )
　　例2.   比较下列各组数的大小
　　(1)   与    ；  (2)   与    ；
　　(3)   与    ；  (4)   与    ．
　　让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．
　　三．巩固练习
　　练习：若    ，求    的取值范围．
　　四．小结
　　五．作业  略
　　板书设计
　　2 ． 8 对数函数
　　一.  概念
　　1．   定义  2 ．认识
　　二．图像与性质
　　1 ．作图方法
　　2 ．草图
　　图 1  图 2
　　3 ．性质
　　(1)   定义域 (2) 值域 (3) 截距 (4) 奇偶性 (5) 单调性
　　三．应用
　　1 ．相关函数的研究
　　例 1  例 2
　　练习