下学期4。4同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式
教学目标:
1 .掌握同角三角函数之间的三组常用关系,平方关系、商数关系、倒数关系.
2 .会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式.
教学重点:
理解并掌握同角三角函数关系式.
教学难点:
已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择;
教学用具:
直尺、投影仪.
教学步骤:
1 .设置情境
与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.
2 .探索研究
( 1 )复习任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义,如图 1 所示,任意角 的六个三角函数是如何定义的呢?
在 的终边上任取一点 ,它与原点的距离是 ,则角 的六个三角函数的值是:
; ;
; ;
( 2 )推导同角三角函数关系式
观察 及 ,当 时,有何关系?
当 且 时 、 及 有没有商数关系?
通过计算发现 与 互为倒数: .
由于 ,
这些三角函数中还存在平方关系,请计算 的值.
由三角函数定义我们可以看到: .
,现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下:
①平方关系:
②商数关系:
③倒数关系:
即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1 ,商等于角 的正切,同一个角的正切、余切之积等于 1 (即同一个角的正切、余切互为倒数).上面这三个关系式,我们称之为恒等式,即当 取使关系式两边都有意义的任意值时,关系式两边的值相等,在第二个式中, 在第三个式中, 的终边不在坐标轴上,这时式中两边都有意义,以后解题时,如果没有特别说明,一般都把关系式看成是意义的.其次,在利用同角三角函数的基本关系式时,要注意其前提"同角"的条件.
( 3 )同角三角函数关系式的应用
同角三角函数关系式十分重要,应用广泛,其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数,求出这个角的其他三角函数值.
【例 1 】已知 ,且 是第二象限角,求 , , 的值.
解: ,且 , 是第二或第三象限角.
如果 是第二象限角,那么
如果 是第三象限角,那么 ,
说明:本题没有具体指出 是第几象限的角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.
【例 2 】已知 ,求 的值.
解: ,且 , 是第二或第三象限角.
如果 是第二象限角,那么
如果 是第三象限角,那么 .
说明:本题没有具体指出 是第几象限角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.
【例 3 】已知 为非零实数,用 表示 , .
解:因为 ,所以
又因为 ,所以
于是
由 为非零实数,可知角 的终边不在坐标轴上,考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限,从而:
在三角求值过程中应尽量避免开方运算,在不可避免时,先计算与已知函数有平方关系的三角函数,这样可只进行一次开方运算,并可只进行一次符号说明.
同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式,请看例 4
【例 4 】化简下列各式:
( 1 ) ;( 2 ) .
解:( 1 ) ( 2 )
3 .演练反馈(投影)
( 1 )已知: ,求 的其他各三角函数值.
( 2 )已知 ,求 , .
( 3 )化简:
解答:( 1 )解: ,所以 是第二、第三象限的角.
如果 是第二象限的角,则:
又
如果 是第三象限的角,那么
( 2 )解: 是第二或第四象限的角
由【例 3 】的求法可知当 是第二象限时
当 是第四象限时
( 3 )解:原式
4 .本课小结
( 1 )同角三角函数的三组关系式的前提是"同角",因此 , …….
( 2 )诸如 , ,……它们都是条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义.
( 3 )利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.
课时作业:
1 .已知 , ,则 等于( )
A . B . C . D .
2 .若 ,则 的值是( )
A .- 2 B . 2 C . 2 D .
3 .化简
4 .化简 ,其中 为第二象限角.
5 .已知 ,求 的值.
6 .已知 是三角形的内角, ,求 值.
参考答案: 1 . D ; 2 . B ; 3 . 1 ; 4 . ; 5 . 3 ; 6 .
注: 4 .略解:原式
在第二象限
.
6 .略解:
由 ,平方得, ,
是三角形内角
只有
,
由
及 ,联立,得: , ,
小班绘本妈妈抱抱我活动目标1。观察图画,了解动物妈妈对动物宝宝表达爱的方式。2。从动物的拥抱中,感收妈妈的爱和拥抱的温馨。活动准备1。绘本妈妈抱抱我ppt课件。2。歌曲我的好妈妈我爱我的家活动过程一
小班品格活动教案小红花,送给谁活动准备1能大胆地使用剪刀,敢于克服困难。2学习正确地自评与他评。活动准备1画好小红花轮廓线的红纸两张。2剪刀每人一把。3盛放剪下的碎纸的小筐若干。4征集家长来信,来信内容是关于幼
小班优秀教案孤独的小熊活动目标1体验小熊孤独和快乐的情绪,知道微笑在交往中的重要。2乐意表达自己对故事的理解。活动准备1拉线教具背景音乐。2毛绒玩具小熊(系红领结)一个。3照相机收集微笑的照片或图片。活
幼儿园小班说课稿1和许多说选材蒙氏研究中认为儿童自两岁起就能凭直觉知道哪个多,哪个少。认识1和许多是幼儿认识数活动的开始,根据小班幼儿的年龄特点好玩,好游戏,有意注意时间短的身心特点,我设计了认知活动1和
表情面具教案表情面具教案活动名称表情面具设计思路最近我总是听到孩子们之间讨论一些开心与不开心的事情,他们在讲述的时候特别激动,甚至有的孩子会对一件开心或不开心的事念念不忘。为了让孩子们知道生活
幼儿园小班教案案例主题有用的鞋子一语言活动故事快乐的小红鞋活动要求理解故事内容,能有节奏地念这首儿歌。学习理解ldquo快乐愉快高兴rdquo词的共同意思。学习用短句表达如ldquo你是谁呀?rdquo。体验学习
小班古诗韵律活动教案春晓活动目标1通过图片,理解并感受古诗的意境,初步学习古诗。2在音乐的伴奏下,按古诗的节律进行朗诵。3激发幼儿对春色的喜爱之情。活动准备教学挂图60mdash14,磁带。活动过程一出示
幼儿园托班第14周教学备课内容美术活动名称织手套执教关老师活动准备幼儿操作材料毛线团和各色颜料盘抹布活动目标能大胆地用毛线团醮印作画,知道用颜料画完后要去洗手。活动过程1请幼儿观察一副彩色毛线手套,并提问手套有
春季传染病教案阿嚏来了活动目标1知道感冒是一种常见的疾病,减轻对感冒的恐惧感。2了解日常预防和治疗感冒的简单方法,并乐意配合成人预防和治疗感冒。活动准备故事,幼儿用书,幼儿事先已经了解与感冒相关的知识。
逼近如何造句逼近拼音注音bijin逼近解释意思靠近接近我们的炮艇敌舰,猛烈开火天色已经黄昏脚步声从远处渐渐。逼近造句1我们觉察到危险正向我们逼近。2然而,有一天,兔子得知猎狗们在逼近,她寄望于
逼视的造句逼视拼音注音bishi逼视解释意思向前靠近目标,紧紧盯着光彩夺目,不可。逼视造句1我逼视你们畏惧的耶和华那对玻璃似的眼,毅然挑战他2这个生前(详见讣告)被很多人认为是不可战胜的男人
庄重的造句1。我越来越能嬉笑着看待悲伤,也越来越能庄重地对待笑话了。2。我认识了你,感到非常荣幸。他庄重地说,然后又蹲下去了。3。这一年,人们仰看高台之上,他们年轻英武的暮王,正庄重又疲惫地
使用错落有致造句1选用现场一棵树,利用深灰色的岩石,大小疏密错落有致的堆摆该树的影子。2每当夜幕降临的时候,喷泉响起优美的音乐,喷出五颜六色的水花,忽高忽低,形成错落有致的水柱。小朋友们围着喷泉载
不折不挠的造句导语向着某一天终于要达到的那个终极目标迈步还不够,还要把每一步骤看成目标,使它作为步骤而起作用。以下是小编为大家整理的不折不挠的造句,欢迎大家阅读与借鉴!基本内容解释折屈服挠弯曲。
小说的解释及造句小说拼音注音xiaoshuo小说解释意思(儿)一种叙事性的文学体裁,通过人物的塑造和情节环境的描述来概括地表现社会生活的矛盾。一般分为长篇小说中篇小说和短篇小说。小说造句1你觉得那
到处的解释及造句到处拼音注音daochu到处解释意思各处处处祖国是春天。到处造句1他们在全国到处张贴布告。2他戴着新手表到处炫耀。3母亲总是在房子里到处奔忙。4到处呈现一片兴旺景象。5他们在这里投
小班儿歌雪姑娘找朋友活动目标1学说儿歌,喜欢知道冬天的秘密2对动物冬眠感兴趣,了解常见动物冬眠的常识活动准备各种小动物睡觉的图片活动预设过程一雪姑娘找朋友1出示挂图雪姑娘找朋友宝宝们,你们看到了谁呀?
棉花姑娘教学设计3篇棉花姑娘是小学语文读本中的棉花童话形象,出自于人民教育出版社一年级下册读本。以下是小编为大家整理的关于这篇课文的教学设计,欢迎大家阅读!棉花姑娘教学设计(一)教学要求1能在语言环境
棉花姑娘教学设计9篇教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点,将教学诸要素有序安排,确定合适的教学方案的设想和计划。一般包括教学目标教学重难点教学方法教学步骤与时间分配等环节。下面是小编为你整理的
棉花姑娘的教学反思核心提示棉花姑娘是一年级语文下册第30课。本文是一篇富有童趣的童话故事。文中把棉花当做人来写,棉花姑娘因为长满蚜虫生病,先后请燕子啄木鸟青蛙给她治病,但都没有如愿。最后一群七星瓢虫
小班语言汤姆上幼儿园目标预设1。理解故事内容,体验小汤姆内心的情感变化。2。帮助幼儿克服心理障碍,能积极勇敢的上幼儿园。重点难点在理解故事内容的基础上,体验小汤姆路内心跌宕起伏的心理变化,结合自己的实
棉花姑娘教案模板教材分析本单元的主题是我们身边的科学。棉花姑娘一文是一篇充满童趣童真的童话故事,课文主要讲了棉花姑娘病了,它请求燕子啄木鸟等给自己治病,可它们心有余而力不足。正当蚜虫们得以的吸食棉