上学期2。5指数

　　教学目标：
　　1．理解  次方根和  次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．
　　2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
　　3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
　　教学重点难点：
　　重点是  次方根的概念及其取值规律．
　　难点是  次方根的概念及其运算根据的研究．
　　教学用具：投影仪
　　教学方法：启发探索式．
　　教学过程：
　　一.   复习引入
　　今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．
　　下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗?
　　以  为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，  称为幂．
　　教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义．   ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出  及   ，同时追问这里  的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念
　　2．5指数(板书)
　　1.   关于整数指数幂的复习
　　(1)   概念
　　既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：
　　(2)   运算性质：  ;  ;  ．
　　复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．
　　2.   根式(板书)
　　我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起．
　　如
　　如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即  ，求?
　　问题也就是： 谁的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4 有个名字叫16的平方根．
　　再如
　　知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．
　　(根据情况教师可再适当举几个例子，如  ，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为  和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)
　　在以上几个式子会解释的基础上，提出  即一个数的  次方等于  ，求这个数，即开  次方，那么这个数叫做  的  次方根．
　　(1)  次方根的定义：如果一个数的  次方等于  (  ，那么这个数叫做  的  次方根．
　　(板书)
　　对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．
　　由学生翻译为：若  (  ，则  叫做  的  次方根．(把它补在定义的后面)
　　翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的  的  次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对  的  次方根的取值规律的研究．
　　(2)  的  次方根的取值规律： (板书)
　　先让学生看到  的  次方根的个数是由  的奇偶性决定的，所以应对  分奇偶情况讨论
　　当  为奇数时，再问学生  的  次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对  的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按  的正负分为三种情况．
　　Ⅰ当  为奇数时
　　，  的  次方根为一个正数;
　　，  的  次方根为一个负数;
　　，  的  次方根为零． (板书)
　　当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明  为偶数时的结论，再由学生总结归纳
　　Ⅱ当  为偶数时
　　，  的  次方根为两个互为相反数的数;
　　，  的  次方根不存在;
　　，  的  次方根为零．
　　对于这个规律的总结，还可以先看  的正负，再分  的奇偶，换个角度加深理解．
　　有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述  次方根了．
　　(3)    的  次方根的符号表示 (板书)
　　可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当  为奇数时，由于无论  为何值，  次方根都只有一个值，可用统一的符号  表示，此时要求学生解释符号的含义：  为正数，则  为一个确定的正数，  为负数， 则  为一个确定的负数，  为零，则  为零．
　　当  为偶数时，  为正数时，有两个值，而  只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成  ，其含义为  为偶数时，正数的  次方根有两个分别为  和  ．
　　为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：  一定表示一个正数吗?  中的  一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结   ．对于符号  ，当  为偶数是，它有意义的条件是  ;当  为奇数时，它有意义的条件时  ．
　　把  称为根式，其中  为根指数，  叫做被开方数．(板书)
　　(4)   根式运算的依据 (板书)
　　由于  是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．
　　如  应该得什么?有学生讲出理由，根据  次方根的定义，可得Ⅰ  =  ．(板书)
　　再问：  应该得什么?也得  吗?
　　若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如  吗?  吗?让学生能发现结果与  有关，从而得到Ⅱ  =  ．(板书)
　　为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．
　　三．巩固练习
　　例1.   求值
　　(1)  ． (2)  ．
　　(3)  ． (4)  ．
　　(5)  ．(
　　要求学生口答，并说出简要步骤．
　　四．小结
　　1．  次方根与  次根式的概念
　　2．二者的区别
　　3．运算依据
　　五．作业 略
　　六．板书设计 2．5指数 (2)取值规律 (4)运算依据
　　1.   复习
　　2.   根式 (3)符号表示 例1
　　(1)定义