下学期4。2弧度制

　　教学目标：
　　1 ．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义．
　　2 ．熟练掌握角度制与弧度制的换算．
　　教学重点： 理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．
　　教学难点： 弧度制定义的理解．
　　教学用具： 投影仪．
　　教学过程
　　1 ．设置情境
　　在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．
　　2 ．探索研究
　　（ 1 ）复习角度制
　　我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，    的角是如何定义的？
　　规定把周角的    作为 1 度的角．
　　我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
　　（ 2 ）弧度制定义
　　我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 ，如图 1 ，弧    的长等于半径    ，    所对的圆心角    就是 1 弧度的角，弧度制的单位符号是    ，读作弧度．
　　图 1
　　的弧度数      的弧度数
　　提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
　　因为半圆的弧长    ，其圆心角的弧度数是    ，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是    ．
　　在    到    的角的弧度数    必然适合不等式    ，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长    ，则这个圆心角的弧度数是    ，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0 ；角    的弧度数的绝对值    ，其中    是以角    作为圆心角时所对的弧长，    是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
　　提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？
　　如图 2 ，设    为    的角，圆弧    和    的长分别为    和    ，点    和    到点    的距离（即圆半径）分别为     和     ，由初中学过的弧长公式可得：    ，    ， 于是    ．上式表明，以角    为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由    的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．
　　因    ，可以得到    ，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式    要简单．
　　（ 3 ）角度制与弧度制的换算
　　用＂弧度＂与＂度＂去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是    ，而在角度制里它是    ，因此    ，两边除以 2 ．
　　得    等式两边同除 180
　　得
　　同理，把弧度换成角度．
　　【例 1 】把    化成弧度．
　　解：
　　【例 2 】把    化成度．
　　解：
　　同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住    弧度这个关键．
　　下面请大家写出一些特殊角的弧度数．
　　角度
　　
　　弧度
　　按从左至右顺序其答案是： 0 、    、    、    、    、    、    、    、    、    、    ．今后我们用弧度制表示角的时候，＂弧度＂二字或＂    ＂通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角    就表示    是    的角，    就表示    的角的余弦，即    ．
　　（ 4 ）角度制与弧度制的比较
　　引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以＂弧度＂为单位度量角的制度，角度制是以＂度＂为单位度量角的制度；② 1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而    是圆的    所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以＂弧度＂还是以＂度＂为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
　　【例 3 】计算：
　　（ 1 ）    ；（ 2 ）    ．
　　解：（ 1 ）
　　（ 2 ）
　　练习（用投影仪）
　　1 ．把下列各角化成    的形式：
　　（ 1 ）    ；（ 2 ）    ；
　　（ 3 ）    ．
　　2 ．求右图 3 中公路弯道处弧    的长    （精确到    ，图中长度单位：    ）．
　　参考答案：
　　1 ．（ 1 ）
　　（ 2 ）
　　（ 3 ）
　　2 ．
　　答：弯道处    的长约为    ．
　　3 ．练习反馈
　　（ 1 ）若三角形的三个内角之比是 2 ： 3 ： 4 ，求其三个内角的弧度数．
　　（ 2 ）已知扇形的周长为    ，面积为    ，求扇形的中心角的弧度数．
　　（ 3 ）下列终边相同的是（ ）．
　　A ．    与
　　B ．    与
　　C ．    与
　　D ．    与
　　参考答案：（ 1 ）    、    、    ；  （ 2 ） 2 （ 3 ） B
　　4 ．总结提炼
　　（ 1 ）    弧度；
　　（ 2 ）＂角化弧＂时，将    乘以    ；＂弧化角＂时，将    乘以
　　（ 3 ）弧长公式：
　　扇形面积公式：    ．（其中    为圆心角    所对的弧长，    为圆心角的弧度数，    为圆半径．）
　　课时作业
　　1 ．角集合    与    之间的关系为（   ）
　　A ．  B ．   C ．   D ．不确定
　　2 ．若角    和    的终边互为反向延长线，则有（   ）
　　A ．   B ．
　　C ．   D ．
　　3 ．中心角为    的扇形，它的弧长为    ，则该扇形所在圆的半径为 ______________ ．
　　4 ．若    ，且    与    的角的终边垂直，则    ．
　　5 ．已知直径为    的滑轮上有一条长为    的弦，    是此弦的中点，若滑轮以每秒 5 弧度的角速度旋转，则经过 5 秒钟后点    转过的弧长等于多少？
　　6 ．已知一个扇形周长为    ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积
　　参考答案： 1 ． C 2 ． D 3 ． 6 ；  4 ．    或    ；  5 ．    ；  6 ．中心角    时，    ．