十几年前为朋友写的一篇咨询文章。这篇文章从一个最简单的物理概念——正弦波出发，逐步定义了各种音高、各种音程、各种三和弦和大小调式的概念，直至在最后给出了do、re、mi、fa、sol、la、si（音阶）的定义。我们在文中可以注意到，大小三和弦、主和弦、属和弦等等这些重要概念，是需要先于音阶被定义的。而不是先有音阶，再定义do、mi、sol为大三和弦。在文章一开始，我们就必须研究，怎样两个单音共同发声会好听，而这是后面一切概念的基础。这些都说明了和声在西方音乐体系中的重要地位。
一、乐音
声音是一种纵波。或者可以干脆说，声波就是纵波。因为在一切（不光是气态的）弹性媒质中的纵波，只要频率在20Hz和20000Hz之间，都可以被人耳感受到，或者说人耳就是一个感受纵波的器官。（而人眼是一个感受横波的器官，它感受的是一定频率之间的电磁波。美中不足的是，它不能感受一切横波，比如海浪——至少不能直接感受。）而频率在这个范围之外的纵波，也被叫做声波（次声波和超声波），所以说纵波=声波大概是不错的。
我们知道，正弦波是宇宙中最简单最纯净的波，所以正弦声波也是宇宙中最简单最纯净的声音。在音乐上所谓的“单音”，就是指具有某个特定频率的正弦声波。这个正弦声波（单音）的频率叫音高。人们把频率为440Hz的单音定义为中音A。
现在我们来讨论一个问题：两个单音同时发声，叠加起来的声音是怎样的呢？先来看看两个完全相同的单音叠加时的情况（例1）。
我们看到叠加后还是一个正弦波，频率没变，振幅增加了一倍。这就是说，叠加后还是一个单音，音高没变，音量增加了一倍。
现在试试这样两个单音，单音B的频率是单音A的一半（例2）：
这次叠加后不再是正弦波了，也就是说，它不再是单音了。但波形还是很有规律，并且频率和原来单音B的频率是一样的。我们可以想象，这样有规律的声音我们听来多半不会难听（事实上是更好听了）。但是注意，我们不能再说它有什么“音高”了，因为前面对音高的定义是：正弦声波（单音）的频率叫音高。对于非正弦声波，音高没有定义。
再来看看单音B的频率是单音A的三分之二的情形（例3）：
这个叠加后的波形比上一个又要复杂一些，但是仍然有规律。它的频率是单音A的三分之一，或者单音B的一半（看周期更明了一些，周期是频率的倒数）。
有趣的是，上帝给了我们的耳朵这样一个功能：只要你有足够的乐感，就能够从叠加后的那个看上去奇形怪状的波形中，听出它是由单音A和单音B叠加而成的。这是一个应该让数学家们羞愧无地的功能：就算最出色的数学家，你给他上面那个叠加后的波形，他也未必能瞬间把它解析成两个正弦波。
以上的例子中，单音A和单音B的频率都有一个比较小的最小公倍数。那么，随便找两个单音来叠加会发生什么样的情况呢？在下面的例子中，单音B的频率是单音A的1.1225倍。就是说这两个音的频率比较接近（例4）。
天啊，这是什么东西呢？和前面那几条优美曲线比起来这简直就是一个怪胎。别以为它是左右对称的，那是你的错觉。它看上去的对称是不精确的，事实上它没有任何精确的规律。但是且慢，我们把它延长一下会看出点规律来：
事实上这是一个颤音。它看上去有一个周期，但这又是你的错觉。它的每一个“周期”内的部分都是不同的，有微小差别。这里我们不做数学证明，但你可以想象一下，既然单音A和单音B的频率没有一个比较小的最小公倍数，它们叠加的结果凭什么会在短期内有精确的重复呢？
现在我们总结出这样一件事：最后一个例子不具备前面几个例子的一个共性，即叠加后的声波具有严格意义上的精确的稳定的频率。虽然在宏观上它也有规律，但在微观上它是杂乱无章的。那么，现在我们可以把声音分为两类，一类有精确稳定的频率，一类没有。这样分类不是做数学游戏，因为我们的耳朵对这个区别非常敏感。在听到前一类声音时我们通常感到愉悦，而听到后一类声音时却会烦躁不安，并且这两种情形是泾渭分明的。我们不妨把前一类声音叫乐音，把后一类叫噪音。显然，当两个单音的频率有较小的最小公倍数时，这两个单音的叠加会具有不太大的精确而稳定的频率，即这样两个单音共同发声会发出乐音。
怎样的声音会让我们感到更加愉悦，或者说更好听呢？噪音显然是难听的，因为它的波形太无序。正弦声波够有序了，但也不见得就是最好听的，因为它太单调。事实证明，上面例1例2中的叠加音，比噪音和单音都好听，因为它充满了丰富而有序的变化。这种“有序”，音乐上称为“和谐”。这就好比，一块画布上随机地涂满各种颜色，你会觉得很难看。但是如果它涂满了红色，你也未必就觉得好看。真正让人愉悦的画布一定是通过画家的劳动，其颜色充满有机而丰富的变化的画布。
二、纯律
很自然地，单音将成为构成音乐（旋律与和声）的基本元素。但是既然我们知道并非每两个单音共同发声都好听，我们就有必要构造一个尽量完美的单音的体系。上面我们有了这样的结论：两个单音的频率有较小的最小公倍数时，这两个单音共同发声是和谐的。看来要构造和谐的单音体系，我们得做一些分数游戏了。
1.主音和八度
我们可以先随便找一个单音来作为基准。这个音最好不高不低，频率大概是几百赫兹吧，但是为了表述方便，我们设它的频率为1，并把它命名为主音。
多大频率的单音和它具有最简单的倍数关系呢？当然是2和1/2。这里要引入音程的概念，音程是指两个单音的音高的差距，但这个差距是用倍数来描述的。也就是说，1/2和1之间的音程，与1和2之间的音程是相等的，都是两倍。又，音程是个双向同性的概念，我们说A到B的音程B到A的音程是一回事，所以如果两个音程互为倒数的话（如4/3和3/4），我们说它们是相等的。无疑，音高差为两倍的单音共同发声是最和谐的，这就是前面例2的情形（请不要抬杠说，例1的情形，即两个相同的单音发声才是最和谐的：你不能因为你和你自己才是最和谐的就打一辈子光棍吧）。
我们的体系需要包容最大范围内的单音，因此这个体系得是“开放式”的，即无限循环的。因此，我们把那个2和1/2，以及4，8，16……和1/4，1/8，1/16……都叫做主音，把两个相邻主音之间的音程叫“一个八度”。也就是说，如果两个单音的频率相差一倍，我们就说它们之间相差一个八度。至于为什么不叫七度或九度，这里先不解释，你暂时把“八度”当成一个单音词好了。
这样，我们就得到了一个大的框架：一些相邻音程是一个八度的主音向双向无限地排列下去。当然这个无限只是数学上的，事实上当这个队列走进超声波或次声波的范围时你就听不见了。现在我们只需研究一个八度之内的单音体系，再把它复制到所有八度当中去就可以了。
两个相差八度的单音之间的频率关系，是毕达哥拉斯首先注意到的。他发现按住一根琴弦的正中间弹拨余下的部分，所得的音高比弹奏空弦正好高一个八度。其实琴弦的长度与其固有频率之间的反比关系，是后来的物理学成果，毕氏那时连频率的概念都没有。他只是狂喜于“数学果然能解释一切”而已。
2．属音和下属音
我们已经有了一系列“等距”的主音，那么，除了频率相差一倍的音之外，还有什么音和主音是最和谐的呢？先考虑从1到2之间的这个八度:在这之间哪个数和1具有最简单的倍数关系？显然，是3/2。这个数和1的最小公倍数是3。相对于主音，我们把它命名为属音。
刚才是从主音1（可别念成do，记住这个1表示主音的频率）往上找的，现在往下找找看：在1和1/2之间，哪个数和1具有最简单的倍数关系？那自然是2/3了，它们的最小公倍数是2。因为这次是往下找的，我们把2/3命名为下属音。
属音和下属音这个概念不仅表示一些特定音高的音，还表示一种倍数关系。我们说“某个音的属音”，就是指频率为这个音频率的3/2的音。同样，说“某个音的下属音”，就是指频率为这个音频率的2/3的音。比如，一个频率是300Hz的音，它的属音是450Hz,它的下属音是200Hz。又如，我们可以说，主音是下属音的属音，同时主音又是属音的下属音，具体的数值关系你可以自己验证一下。
我们可以看到，一个音和它的属音的音程，与它和它的下属音的音程是相等的，都是2/3（或3/2）。这也是一个重要的音程，就如我们把音程2（或1/2）命名为八度一样，我们把这个音程（2/3或3/2）命名为纯五度。
我们有两种办法可以把属音和下属音复制到所有的八度里去。一种是：所有和属音相差八度的音（即频率是属音的两倍或二分之一），都叫做属音。3/2的一半是3/4，所以在1/2到1这个八度里，属音的频率是3/4。另一种办法是，所有主音的属音（用到了上面说的倍数关系的概念）都叫做属音。考虑1/2这个主音，它的属音是（1/2）*（3/2）=3/4。这和前一种办法不谋而合。同理，在1和2之间的这个八度中，下属音是4/3。但是我们注意，这个4/3虽然也叫下属音，但并不是主音（1）的下属音，而是主音（2）的下属音。它和主音（1）的音程是4/3，我们把这个音程叫做纯四度。
好了，现在我们的体系里已经有了三个音。在1到2这个八度中，它们分别是（按频率从小到大排列）：主音（1），下属音（4/3）和属音（3/2）。现在我们知道这三个音是构成一个调式的最基本的音。
3．中音和下中音
上面我们一直在探讨两个单音共同发音的情形。那么，若有三个两两和谐的单音共同发声，是不是效果会更丰富呢？
我们注意到，下属音（4/3）和属音（3/2）之间的关系并不太和谐：它们的最小公倍数是12，一个要乘9，一个要乘8，这个叠加波要经过那么长一段才有精确重复，我们的耳朵有些受不了了。可见，主音，下属音和属音三者共同发声是不和谐的。要找两两和谐的三个音，我们只有以主、属或主、下属为基础，分别找出第三个音来。
先考虑主音（1）和它的属音（3/2）。在1和2之间，有哪个分数和它们都有简单的倍数关系？4/3已经试过了，不行（是被我们的耳朵否决了）。5/3呢，它和3/2的最小公倍数是15，更差。再看分母是4的分数。5/4，它和1的最小公倍数是5，和3/2的最小公倍数是15/2。对于这个15/2，3/2要乘5，5/4要乘6，不算太大，还算和谐，但再大（比如前边说的一个乘9一个乘8）就不和谐了。你也许要说我强词夺理：哪有这么泾渭分明的，你凭什么自定这和谐与不和谐的标准？这标准可不是我定的，而是我们的耳朵，或者说是它的制造者上帝定的——我们就接受了罢。另一个以4为分母的分数7/4，不如5/4合适，你可自行验证一下。
现在这第三个音我们似乎找到了，就是5/4。它和主音的音程是5/4，属音和它的音程是6/5。这两个音程也是重要音程，分别叫做大三度和小三度。如前所说，两个音程为小三度的单音还算是和谐的，但比它再不和谐就不算和谐了，小三度是和谐关系的最低标准。大三度和小三度“加”起来（事实上应该说是乘起来）就是纯五度：（5/4）*（6/5）=3/2。
但是且慢！这个5/4是不是唯一符合我们要求的频率值呢？显然，只要两个音程“加”起来是纯五度，并且这两个音程足够简单（就是说分子分母的最小公倍数足够小），就符合我们要求。大三度和小三度“加”起来是纯五度，那小三度和大三度“加”起来不也是纯五度吗？比主音（1）高一个小三度的音是6/5，它和属音（3/2）的音程是5/4，正是一个大三度。
现在我们看到，频率为5/4和6/5的音，完全等价地符合我们的要求（就是找一个和主音、属音两两和谐的第三个音），这个“完全”的程度简直就像那头倒霉的驴子左右的两堆稻草。我们比那头驴子要狡猾一些，这两堆稻草我们都要。请注意，这个“都要”的结果是：一个重要的分野由此开始。在这两个对称的基础上，分别发展出了两个数学上相似，但艺术感觉上完全不同的两个调式体系。
这个5/4和6/5，因为是在主音和属音的中间找到的，我们把它们命名为中音。由主音、中音和属音共同发声，效果非常好听，并且你取两个不同的中音时，感觉会有微妙的不同。主音（1）、中音（5/4）、属音（3/2）这个架构，相邻的两个音程依次是大三度（5/4）、小三度（6/5），我们把它命名为大三和弦。主音（1）、中音（6/5）、属音（3/2）这个架构，相邻的两个音程依次是小三度（6/5）、大三度（5/4），我们把它命名为小三和弦。大三和弦听起来的感觉浑厚而雄壮，小三和弦听起来的感觉温柔而优美。让我们先把小三和弦放在一边，用大三和弦来继续构造我们的单音体系（因为是基于大三和弦的，我们把我们正在构造的单音体系叫做大调式。以后我们再构造基于小三和弦的小调式）。就是说，请你暂时先忘了6/5这个音，现在我们的中音是5/4。
记得我们前面说过的话吗，“要找两两和谐的三个音，我们只有以主、属或主、下属为基础，分别找出第三个音来。”我们已经为主音和属音找到了一个中音，三者构成了一个大三和弦。现在，在主音和下属音之间也可以如法炮制，不过刚才主音是最低的音（跟音），这次下属音是最低的音（跟音）。下属音（2/3）往上走一个大三度（乘以5/4）得到5/6。而这个5/6到主音（1）的音程正是小三度。因为5/6这个音是在主音和下属音之间找到的，我们把它叫做下中音。由下属音、下中音、主音这三个音也构成一个大三和弦。
现在我们的大调式体系里又多了两个音：中音（5/4）和下中音（5/6）。我们按前面的方法发把下中音拷贝到上一个八度，得到5/3。这样在1到2这个八度中，我们现有的五个音从低到高分别为：主音（1），中音（5/4），下属音（4/3），属音（3/2），下中音（5/3）。
4.上主音和导音
前面我们已经构造了两个大三和弦。主音、中音、属音这个大三和弦，跟音是主音，我们可以叫它主和弦。下属音、下中音、主音这个大三和弦，跟音是下属音，我们可以叫它下属和弦。我们已经知道主音，下属音和属音是一个调式里最重要的三个音，那么既然有主和弦和下属和弦，为什么不该有属和弦呢？我们来构造一下试试看。
属音是跟音，即最低的音。属音（3/2）往上走一个大三度（乘以5/4）得到15/8。这个音和第三个音的关系应该是小三度，那么第三个音的频率应是（15/8）*（6/5）=9/4。这个值跑到2到4那个八度里去了，我们把它复制到1到2这个八度，即把它除以2，得到9/8。这样我们又得到了两个新音，我们分别叫它们导音（15/8）和上主音（9/8）。以及一个新的大三和弦，即属音、导音和上主音构成的属和弦。很自然地，我们现有的这三个大三和弦（主和弦、下属和弦和属和弦）将成为大调式中三个最基本的和弦。事实上，你只要会用吉他弹奏这三个和弦，基本上就可以对付所有大调式的歌了。
现在我们的大调式已经有了七个音，在1到2这个八度中从低到高分别为：主音（1），上主音（9/8），中音（5/4），下属音（4/3），属音（3/2），下中音（5/3），导音（15/8）。七个音已经差不多够用了，这就是我们的大调式的大致模样。进一步的完善工作让音乐家们去做吧。
上主音和导音的命名不太直观。上主音是属音的属音，名字来源大概是它的位置在主音的上面一级。导音之得名是因为它对主音有强烈的倾向性，不过这就不是声学而是音乐家关心的事了。
5．小调式
大调式是以大三和弦为基础构造的，别忘了我们还有另一堆稻草：小三和弦。以小三和弦为基础，我们还可以构造一个和大调式平起平坐的单音体系——小调式。由于我们已经在“那边”做了很多工作，“这边”的工作可以快一些，因为思路是完全一样的。
主音、属音、下属音的关系，大小调式是完全相同的，因为属音、下属音的概念是先于大、小三和弦的概念的。或者说，我们得到属音、下属音的时候，大、小调式还没有分道扬镳。复习一下：主音是（1），属音是（3/2），下属音是（2/3）。在1到2这个八度里的下属音是（4/3）。
现在我们需要按照小三和弦的架构，为主音和属音找一个中音。事实上这工作我们已经做过了，那就是刚才要你“暂时忘记”的那个中音6/5。好，现在主音到中音是小三度，中音到属音是大三度。这里主音、中音、属音构成一个小三和弦。这就是小调式的主和弦。而6/5是小调式的中音。
同样我们得为主音和下属音基于小三和弦找一个下中音，这事可还没有做。下属音是跟音。下属音（2/3）往上走一个小三度（乘以6/5）得到4/5。而这个4/5到主音（1）的音程（5/4）正是大三度。4/5这个音就是小调式的下中音。由下属音、下中音、主音这三个音也构成一个小三和弦，这就是小调式的下属和弦。同样地，我们按习惯把下中音（4/5）乘以2复制到上一个八度，得到1到2这个八度的下中音（8/5）。
在得到主和弦和下属和弦后再来构造属和弦，即以属音为跟音的小三和弦。属音是跟音，属音（3/2）往上走一个小三度（乘以6/5）得到9/5。这就是小调式的导音。导音再往上走一个大三度（乘以5/4）得到9/4，这就是小调式的上主音。把它除以2复制到下面一个八度，得到1到2这个八度的上主音（9/8）。我们注意到小调式的上主音和大调式是一样的，这不奇怪，因为上主音就是属音的属音，与大小三和弦的概念无关。由属音、导音、上主音构成了一个小三和弦，这就是小调式的属和弦。
汇总一下：在1到2这个八度中，小调式的七个音从低到高分别为：主音（1），上主音（9/8），中音（6/5），下属音（4/3），属音（3/2），下中音（8/5），导音（9/5）。其中，主音、上主音、下属音、属音和大调式相同，中音、下中音和导音不同。这里相同和不同的原因是什么？你可以自己想想——并不是偶然的。
我们构造的小调式，其实在音乐中叫做“自然小调”，与之并列的还有“和声小调”和“旋律小调”。这里不展开详述了，为简明起见，本文中“小调式”就是指“自然小调”。
6．小结
现在我们来把我们做过的工作归纳一下。我们找出了五种特殊的音程，分别是八度（2或1/2），纯五度（3/2或2/3），纯四度（4/3或3/4），大三度（5/4或4/5），小三度（6/5或5/6）。把所有“或”前面的分数排列一下，得到（2/1）（3/2）（4/3）（5/4）（6/5），把所有“或”后面的分数排列一下，得到（1/2）（2/3）（3/4）（4/5）（5/6）。你看到了，这是一个多么优美的体系。这五个特定音程就是音乐中最重要的五个音程。再加上我们没有提到过的大六度（就是大调式中主音到下中音的音程，即5/3或3/5）和小六度（就是小调式中主音到下中音的音程，即8/5或5/8），除去八度不算，以上七个音程就是八度之内所有和谐音程的集合。在1和2之间只有两个较简单的分数没被用到，就是7/4和7/5。这两个数很孤立，我们没必要引入它们来破坏我们已经很完美的体系。
如果有三个音两两都是和谐的，它们能组成更优美的声音。我们注意到，大三度和小三度“加”起来（实际上是乘起来）是纯五度，就是说，两两音程分别是大三度、小三度、纯五度的三个音符合这样的条件。大三度在前，小三度在后的，是大三和弦。小三度在前，大三度在后的，是小三和弦。
我们注意到，还有两组音程符合这个条件：纯四度加小三度等于小六度，纯四度加大三度等于大六度。再像大小三和弦那样把两个小音程互换位置，等于是还有四个和弦可以用来构造调式。但是，我们知道纯五度是除八度以外最和谐的音程（因为3/2和2/3是最简单的分数），而上面提到的四个和弦里居然都不包含纯五度音程，可见用作主和弦是不完美的。我真的试了一下用它们来构造调式（我把它们分别叫做大小六调式，小小六调式，大大六调式，小大六调式），发现大大六调式很像布鲁斯调式。但是，这些调式用十二平均律来模拟都不是很理想。加上它们的主和弦不包含纯五度音程，就算用它们构造出了调式，也不会是像大小调式那样主流的调式。
我们在主音，属音，下属音和大三和弦的基础上，建立了大调式单音体系，在主音，属音，下属音和小三和弦的基础上，建立了小调式单音体系。每个体系里有七个单音，分别是主音，上主音，中音，下属音，属音，下中音，导音。以及三个主要和弦，主和弦、下属和弦和属和弦。大调式里的三个主要和弦都是大三和弦，小调式里的三个主要和弦都是小三和弦。
以上我们的一切工作所建立的乐音体系中，单音的共振关系（即它们的频率的倍数关系）都是精确的，我们把这个体系总称为纯律。之所以在名字中强调一个“纯”字，是相对不那么“纯”的12平均律而言的。
三、12平均律
纯律的精确性是无懈可击的，但它真的那么完美吗？我们随便提个问题就能让纯律陷入尴尬：比上主音（9/8）高一个纯五度（乘以3/2）的音是怎样的？这不难算，这个音的频率是27/16。可是在纯律中我们找得到这个怪音吗？
看来我们得更深入地研究一下纯律中各单音的音程关系。以大调式为例，我们来看看下面这张表（表1）。
在一个八度的七个相邻音程中，有3个9/8，2个10/9，2个16/15。而9/8和10/9是比较接近的，我们先把它们都叫做“大音程”（共5个），把16/15叫“小音程”。大音程和小音程的数量关系如何呢？我们看到小音程的平方是256/225，这个数值又和大音程比较接近，也就是说一个大音程大致等于两个小音程“相加”（实际上是相乘），即一个大音程大致可以分成两个相等的小音程。如果我们把五个大音程都分成两个小音程，那么一个八度中共有12个小音程。如果我们真的把一个八度平均分成12个小音程，那么产生的12个音的频率将成为一个等比数列（再次注意音程是倍数关系）。并且，在所有的八度中形成了一个统一的连续的等比数列。回过头来我们再拿其中的7个相应的音来模拟纯律的7个音，就等于把纯律“嵌入”到这个等比数列当中去了。
这样做无疑是要产生误差的，因为大音程并不精确等于两个小音程的平方，小音程也并不精确等于一个八度的12分之一（即开12次方）。因而我们已经得到的纯五度、纯四度、大小三度等等特定音程都要重新定值，不再是精确的分数，而是一个近似值。比如，小三度（6/5）就得定义成均分后的小音程的3倍（实际上是3次方），大三度（5/4）就得定义成均分后的小音程的4倍（实际上是4次方）等等。
“够了够了，”你大概会说，“我们辛辛苦苦建立的纯律体系已经被扭曲得不像话了。我们做出了这么大的牺牲，能得到什么呢？”
只要能得到一件事，就已经值得了。这件事就是：这个新体系中的任何一个音，在加上或减去纯五、纯四、大小三度、大小六度之后，所得到的音一定还在这个体系中。也就是说，如果我们把单音看成元素，把加减特定音程看成运算，把体系看成集合的话，我们这个新集合对于这些重要运算是封闭的！并且，不要以为这个集合有多庞大，从某种意义上说该集合的元素数只有12个（从音乐的角度来看，相差八度的两个音的性质是一样的）。
这件事是纯律望尘莫及的，我们刚才只是把上主音抬高一个纯五度，得到的音就不知道在哪里了。
这个封闭性质意味着：
1．转调成为可能，可以任意转调而无须增加新的音。
2．任何一个音都可以成为大小三和弦以及别的和弦的根音，组成这些和弦的音全部在12个音之内。
3．键盘乐器和品格乐器（如吉他，琵琶，口琴等）成为可能。否则像这样的乐器只能弹一个调，如果歌唱家觉得钢琴师的伴奏调太低了，他得去换架钢琴来。
4．体系是平均的，每一个音都是等价的，没有谁多或少什么特殊性质。任何音都可以做任何调式的主音（或属音或随便什么音）。
5．……
好了，先不用忙着列举这些，我们还没有算过以这个平均律来模拟纯律的误差有多大。毕竟纯律是音乐的基础，误差要是太大了这个平均律是没法用的，我们只是空欢喜一场。
要把八度音程（即2倍）平均分成12份，每一份基本音程的值应该是2开12次方（这样12个基本音程乘起来才等于2）。2开12次方是1.0595。这相当于前面所说的小音程。大音程等于小音程的平方，即1.1225。
现在验算一下主要特定音程的模拟效果（其中，被模拟成几个基本音程，模拟值就等于1.0595乘几次方）（表2）：
我们看到最重要的音程纯五度和纯四度的误差只有千分之一。其它最大的误差也不超过百分之一。这样的模拟效果应该是让人满意的。按理说在完成了这个验证之后，这个平均律已经可以成立了。可是为了照顾你可能存在的强迫症，我们还是把纯律大小调式七个音的“嵌入”工作实际做一下（表3）。
上表平均律中序号为n的相对频率，等于1.0595乘n次方。最高误差是小调式的导音，略微超过百分之一。我猜之所以和声小调（即在小调式里以#5代替5）比较好听，跟这点可能有些关系。
因为这个体系是把一个八度平均分成12份得到的，所以叫做12平均律。这12个音中任意相邻两个音的音程是1.0595即2开12次方，我们把这个音程叫做一个半音。半音是12平均律中音程的基本单位。两个半音加起来是一个全音，全音的音程是1.1225，这是1.0595的平方，也就是2开6次方。
在12平均律中几乎所有的概念都需要重新定义：
纯五度音程等于1.4983，纯四度音程等于1.3348，大三度音程等于1.2599， 小三度音程等于1.1892，大六度音程等于1.6818，小六度音程等于1.5874。
可参见表2。这些特定音程不再是分数了。
相邻音程关系为大三度-小三度的和弦称为大三和弦，相邻音程关系为小三度-大三度的和弦称为小三和弦。这个定义字面上看和纯律是一样的，但因为大三度和小三度的定义改变了，所以大小三和弦的定义实际上也改变了。
七个音的相邻音程关系符合下表（表4）的叫做大调式。
七个音的相邻音程关系符合下表（表5）的叫做小调式。
七个音的定义事实上也改变了，比如我们说某个音的属音，不再指频率为那个音的3/2的音，而是指频率为那个音的1.4983倍的音。
在重要概念中只有八度的概念完全没变。
另外，我们还可以定义一些新的概念：
两个音的音程是半音的，这个音程叫小二度。如中音和下属音相差小二度。
两个音的音程是全音的，这个音程叫大二度。如下属音和属音相差大二度。
回头看看表1我们会发现，在纯律中是难以定义大二度的，因为有9/8和10/9两种音程和大二度都差不多。小二度和大二度都不是和谐音程。
为方便起见人们还给一系列固定音高的音起了名字，叫作音名，见下表（表6）。
一共12个音名，相邻音名的音程是半音，相差八度的音名是相同的。这相当于一个固定的标尺，而调式的关系相当于一个游标，上面每一个音都可以作为调式的主音，无论哪个音做主音，该调式所需的音都在这个表内。举例如下。
现在，如果我们把A作为小调式的主音，则该小调式的七个音分别为：
以A为主音的小调式，称为A小调。
如果我们把C作为大调式的主音，则该大调式的七个音分别为：
以C为主音的大调式，称为C大调。大调式的七个音另有一个昵称，叫做唱名，分别读作：do（主音）re（上主音）mi（中音）fa（下属音）sol（属音）la（下中音）si（导音）分别写作1、2、3、4、5、6、7。
我们注意到，如果一个小调式的主音，比另一个大调式的主音低一个小三度，也就是说这个小调式以这个大调式的下中音（6,la）为主音，或者说这个大调式以这个小调式的中音为主音，那么这两个调式所用到的七个音是完全相同的。我们把这样的一对大小调式称为关系调式。比如，上面提到的C大调和A小调就是关系调式。
我们看到la si do re mi fa sol 这七个音也可以构成一个小调式，角色分别为la（主音）ti（上主音）do（中音）re（下属音）mi（属音）fa（下中音）so（导音）这样我们索性把小调式的七个音赋予同样的昵称，不过主音是la而不是do。这样唱名之间有了大小调式统一的音程关系如下：
do全re全mi半fa全so全la全ti半do
注意唱名和音名的本质是不同的。音名表示固定音高的音，相当于固定标尺。唱名表示相对音高，相当于游标。你给出中音A来，我就知道它是440Hz，但你给出la，在我不知道这是什么调的时候，我不知道它有多高。事实上A可以做la，B又何尝不可以？
至此，我们从数学和物理学出发建立音乐体系的工作已经基本上完成了。对于这个体系的进一步完善的工作，已经是纯音乐范畴的事了。
