数学论著选集。其中包括《方圆阐幽》一卷,《弧矢启秘》二卷,《对数探原》二卷,《垛积比类》四卷,《四元解》二卷,《麟德术解》三卷,《椭圆正术解》二卷,《椭圆新术》一卷,《椭圆拾遗》一卷,《火器真诀》一卷,《对数尖锥变法解》一卷,《级数回求》一卷,《天算或问》一卷共十三种著述,还有一种版本比上述多三种,即多《重学》二十卷,《圆锥曲线说》三卷,《几何原本》十五卷,共十六种。清李善兰撰。
李善兰,原名心兰,字壬叔,号秋纫。生于嘉庆十六年(1811年),卒于光绪八年(1882年)。浙江海宁县硖石镇人。自幼聪颖好学,尤喜爱数学,十岁时,“读书家塾,架上有古《九章》,窃取阅之,以为可不学而能,从此遂好算”。十五岁左右,又学习了《几何原本》前六卷,《测圆海镜》,《勾股割圆记》,《四元玉鉴》等书,并喜好吟诗,其《乍浦行》,《汉奸谣》可为代表作。及长,积极从事著述,后来,与英人伟烈业力(Alexander Wylie),艾约瑟(Joseph Edkins)相识,遂合作翻译科学著作多种。晚年,到北京任同文馆算学总教习。
在《方圆阐幽》中,李善兰提出了“尖锥术”理论,这是他未曾接触西方微积分学说之前,独立创造发明的,在《方圆阐幽》中,他把“尖锥术”理论概括为十个“当知”,即是概括为十条命题。即:
一、“当知西人所谓点、线、面皆不能无体”。“点者,体之小而微者也;线者,体之长而细者也;面者,体之阔而薄者也”。
二、“当知体可变为面,面可变为线”。“盈尺之书,由叠纸而得;盈太之绢,曲积丝而成也”。
三、“当知诸乘方有线,面,体循环之理”。“方而因之则长,长而因之则匾,匾而因之则复方”。
四、“当知诸乘方皆可变为面,并皆可变为线”。
五、“当知平,立尖锥之形”。
六、“当知诸乘方皆有尖锥”。“三乘以上尖锥之底皆方,惟上四面不作平体而成凹形。乘愈多,则凹愈甚”。
七、“当知诸尖锥有积叠之理”。
八、“当知诸尖锥之算法:以高乘底为实,本乘方数加一为法,除之,得尖锥积”。
九、“当知二乘以上尖锥其所叠之面皆可变为线”。
以上十条“当知”,即“尖锥术”的理论,若就某种意义上说,相当于定积分的理论,虽然“尖锥术”的理论有些不够严密,但在西方微积分传入中国之前,李善兰的这种创新精神,是难能可贵的。为了验证“尖锥术”理论的正确性,在《方圆阐幽》中,以圆面积为例,他以“尖锥术”理论推导出圆面积的正确算法。在《弧矢启秘》中,李善兰还结合尖锥术对弧、矢之间各种关系进行了探讨,从而得到一些新的研究成果。并阐述了三角函数及反三角函数的幂级数展开式。在《对数探源》、《对数尖锥变法解》中,他以“尖锥术”理论对于对数进行了探讨,因而他认为:“欧罗巴造(对数)表之人,仅能得其数,未能知其理也。间尝深思得之,叹其精微玄妙,且用于造表,较西人简易万倍。然后知言数者之不可不先得夫理也”。这些话虽说有所夸大,但李善兰的成就在当时已赢得国内、外学者普遍崇敬,如伟烈亚力说:“李氏精思四载,乃得对数理。倘生于纳氏(纳白尔,Napier),盖氏(高斯,Gauss)之时,则祇此一端,即可名闻于世”。
《垛积比类》是李善兰一部得意之作,这是一部研究垛积问题的专著。自从“贾宪三角”问世以后,元代朱世杰曾根据贾宪三角推导出不少垛积问题,即高阶等差级数求和问题,李善兰在朱世杰的基础上,把贾宪三角加以改造,从而得出大批垛积问题,于是形成《垛积比类》专著。李善兰说:“今所述,有表、有图、有法,分条别派,详细言之,欲令习算家知垛积之术。于《九章》外,别立一帜,其说自善兰始”。可见,图、表、法,几成为此书的特色,全书共十五张垛积表,并列举了“造表法”。在表中,每一斜行或竖行即组成一垛积问题。而垛积表则是全书的基础,也是重要组成部分。此外,书中“有高(层)求积术”和“有积求高(层)术”,是此书的中心内容。其前术需要导出此垛积之和的算法,后术是前术的逆运算,需要解高次方程以求层数。
今以现代数字表示“三角垛表”,举例如下:
由上述各表之各行,即可得各种垛积问题。内容丰富,而且无一错误。《垛积比类》一书,不但是李善兰的创新工作,也是组合数学前期的一部杰作。
除上述《则古昔斋算学》外,李善兰还与英人伟烈亚力,艾约瑟合作,进行翻译工作。先后翻译了《几何原本》后九卷,《代数学》,《代微积拾级》,《谈天》,《重学》,《奈端数理》,《植物学》等书,并于晚年又写成《考数根法》一书。
《则古昔斋算学》现传本有清同治四至六年海宁刊本,清同治六年金陵刊本,清光绪八年江宁刊本,清同文馆刊本等。
