提起循环小数，大家的第一印象是什么？是小数点后的数是无限循环的数？是可以化为分数的数？还是如√2一般的非比例数（不能精确表示为两个整数之比的数，即无理数）？估计大家第一时间想到的就是循环小数是可以化为分数的小数后的数是无限循环的数吧，毕竟大家开始学习循环小数的时候，就被老师这样告知了，而在比例数（能精确表示为两整数之比的数，即有理数）的定义中，也定义了循环小数是比例数（后加的）。正是这一定义，阻挡了人们对于循环小数的正确认识，让人们在发现0.9 9的循环无法以一个分数表示的时候还坚信循环小数是比例数。可以说强加的定义限制人们对于循环小数的认知。
那么循环小数真的是非比例数吗？又该如何证明呢？循环小数如果按现有比例数定义来看的话，它就是比例数，但若按照比例数原本定义来看的话，它就是非比例数，0.9 9的循环就是典型的代表。循环小数是非比例数的证明也很简单，只需证明一个命题即可，这个命题就是：若0.9 9的循环是比例数的话，则必存在一个分数，使得该分数在遵循现有算法的情况下能化为0.99的循环，且该分数是1/9的9倍（很显然，9/9不符合要求）。而找来找去，始终找不到一个这样的分数，故此，0.9 9的循环是一个非比例数。得到了0.9 9的循环是一个非比例数，其他循环小数是非比例数的证明就容易多了，自然而然的就得到了循环小数是非比例数的事实。
那么，0.9 9的循环等于1吗？在得知循环小数是非比例数的时候，尤其是0.9 9的循环不能化为分数的时候，很容易就会想到这个颇有争议的话题。很显然它们是不等的，因为它们一个是比例数，一个是非比例数，性质不同的两个数就不是同一个数，就不会相等。那么它们谁大呢？很显然是1大，因为两数位于个位上的1大于位于个位上的0，而0.9 9的循环位于十分位及以下位的上的9都不满足进位条件而不能进位。对于这一现象，《数学分析》实数定义一就作了很好的说明。
一直以来，对于循环小数的理解，我们都错了，直到特殊循环小数0.9 9的循环的出现,改变了我们对循环小数的看法,让我们对循环小数有了新的认识,使得我们对数的认识更近了一步.相信随着时间的推移，科学思维教育的发展，我们对事物的认识会更加的全面，更加的系统，数学知识体系也会逐渐完善，趋于完美，最终造福人类。最后，谢谢大家的阅读。
