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报告将军,前方求极限时洛必达法则失效了,...

各位看官大家好,我叫宝刀君,是一名将军。

我今年有一个历史重任,就是去迎战一个叫“考研”的敌人,这个敌人下面有四个得力干将:分别是考研数学、考研英语、考研政治、考研专业课。

为了对付这个敌人,尤其是对方手下的天字一号干将:考研数学,我不惜花重金请来了不少的智囊团将领,比如说:洛必达、泰勒、高斯、柯西、拉格朗日、罗尔、费马等等。

其实说真的,我麾下的这些将领很牛逼,他们在各自的研究领域里,都是属于翘楚级的人物,我跟他们比起来,简直弱爆了。

每天跟他们在一起,我都觉得很尴尬,因为他们讨论的问题我压根听不懂,什么拓扑学、复变函数、偏微分方程、群论……等等等等,我一个也不懂。

虽然我自己实力不济,但是依靠我的理想,依靠我的说服力,我将他们拉拢在一起,一起来搞事情。

这一天,我们一班人马一起来到了一个叫“求极限”的城墙门外面。

上面写着:要想取得考研真经,必须经过此关关!

很明显,这是 考研数学 布下的第一道关卡。

派谁去攻克这个城墙呢?

有了,这不刚好来了一个叫洛必达的干将吗?

他就是专门来求解极限题目的,只要是符合他洛必达法则使用条件的,他都可以咔咔咔,直接开干!

我还记得洛必达这小伙当初来我门下时,说过这几点注意事项:

当时洛必达说完,我还很清楚他随手就摆出了一个木牌,上面举着这样一个题:

他怕我们一行人听不懂这个例子,于是又补充道:

其实我是知道他想表明什么意思的,他无非就是想表明这个含义:

当你发现一个题满足使用我洛必达法则的条件,你用了,求解出正确答案了,恭喜!

当你发现一个题满足使用我洛必达法则的条件,你用了,但是求不出来值,那我洛必达认栽,真的很抱歉,我在这个题目上无法施展法力。

换句话说:“我洛必达法则此时失效了”!

虽然如此,但是一般这种情况比较少见,所以我还是会考虑重用洛必达,会给他一口饭吃。

先派他出去迎战吧,看看对方抛来的是什么怪题。

卧槽,一打开一看,竟然是这几道题:

必达出去应战了,经过两三招打拼,没想到对方依旧面不改色。

此刻,看到敌方的面貌,作为将军的我,马上意识到:洛必达法则会不堪一击,洛必达法则失效了。

失效,并不意味着敌人消失了(并不意味着待求题目的极限不存在) ,

失效,意味着我需要重新调兵遣将, 重新派出其他得力干将去迎战!

我的耳边回想起了春秋战国时代孙武将军书中写的一句话:

《孙子·谋攻篇》:“知彼知己,百战不殆;不知彼而知己,一胜一负;不知彼,不知己,每战必殆。”

要想去处理洛必达法则失效情况下的求极限题目,我得首先知道:洛必达法则失效的原因,或者说种类。

常见的失效情况有两类:

什么叫可以验证呢?什么叫无法验证呢?

就是说当我们拿到一个求极限的题目时,一般它的前两条法则都是满足的,只剩下第三条需要我们自己去做个运算处理才能知道,当我们做了第三步分子分母各自分别求导后,发现它求不出来数值,这就叫“可以验证”。如果它求导之后的式子越求越复杂,这时就叫“无法验证”。

显然,现在遇到的 例子2和例子3,发现求导之后题目陷入循环,这是属于可以验证的,例4求导之后越来越复杂,更是无法再继续使用,这没法再继续验证了,只会越用越乱。

怎么办?

这个将领不能用了,那就重新换将领!

无论如何,老子必须过这道关卡!

无论如何,老子必须拿下每一个敌人抛来的问题!

无论如何,老子要想考上研究生,那就必须不能退缩,佛挡杀佛,神挡杀神!

我陷入了沉思中。

提取公因式、分子分母同乘以公共非0因子、倒代换、泰勒公式….一大波其他干将们都在等着我发号施令呢,只要我一声令下,他们都可以随时待命,泰勒确实是很牛逼,只不过这三喽啰,还轮不着让泰勒去动手,算了,派他们两去吧!

一阵刀光剑影,洛必达和他们几个人一起 提着正确答案的人头回来了,并随手附上了正确的解题步骤:

我仔细端详,发现干的还不错!

这时候,我的助理问我:“将军,你说将来正儿八经去迎战考研时,他们会出这种题吗?今天面对的敌人会不会出的太难了、太偏了?”

“这你就不懂了”,我不假思索的答道。

“对方抛来这样一道题目,一方面是想把我们引入歧途,引入反复死磕这类题目中,只可惜,这类题很少出,对方往年出的真题招式我研究过了,根本就没有一上来就随手用洛必达法则做的,一般刚开始都是用什么等价无穷小替换啦、泰勒公式啦、倒代换等等这类干将,然后打着打着,到最后了,发现这时候还可以使用洛必达法则,最后才派洛必达法则去收拾残局的”。

“也就是说,我们不用去下功夫研究洛必达法则失效的情况?”

“对的,不用为难洛必达干将,他虽然有局限性,但是只要是真题的最后若干个步骤,用他来处理还是非常快的”

助理想了想说:“将军,要不您举个例子?”

可以啊,请看2008年的这道计算题:

助理看完后,表示明白。

这时候,我看了看时间,也不早了,就吩咐助理:经过这一战,大家都很累,随便做点饭菜,让大家吃完后各自回房休息吧,明天继续上路!

END

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