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如何手算平方根

在本文中:手算平方根以上步骤的原理解释

有很多方法可以用手就算出平方根。有的别的方法只能得到估计值,这里的方法则可以用简单操作一位一位算出平方根的值。

方法

1:手算平方根

1:写出要计算平方根数字。从小数点开始,将数位分成一对一对的:79,520,789,182.47897变成"7 95 20 78 91 82. 47 89 70"。 我们的例子中,要计算780.14的平方根,先如图画两条线,然后左边写"7 80. 14" ,右上方可以得到780.14的平方根

2:看看最左边的一对数字,找出最大整数n,使得n的平方小等于这对数字。本例中这对数字就是7,2×2 ≤ 7 < 3×3,因此n = 2。 在右上角写出2,这就是平方根的第一位。下面写出2×2=4,下一步要用到。

3:用最左一对的数字减去刚才的积。这里用7减4,得到3。

4:第二左的一对数字写下来。让右上方的数字乘以2,然后写右下方各自里,加上"_×_="。 比如,下一对数字是 "80": "80" 写在3旁边,让2乘以2,得到4: 把"4_×_=" 写在下面。

5:找出最大的数,使得其放在右下方横线上算出来的积,小等于左边的那个数。本例子中,如果用8,得到384,大于380,因此8太大了。不过7就可以了。7写上去得到329,右上写下7:7就是780.14平方根的第二位数字

6:左边上下相减。本例中,380-329=51。

7:重复步骤4。因为现在要处理小数部分,因此在右上写出小数点。“14”这对数写下来,27两倍是54 ,因此在下面写 "54_×_="。

8:重复第5、6步。找出最大的数,使得放进横线乘出来的积,小等于左边的数字(5114),这里得到9,在右上方写出9。然后将5114减去乘得的积:得到173。

9:想要继续计算,就在173右边放俩0,然后继续4、5、6步骤。

方法

2:以上步骤的原理解释

1:要理解以上方法的原理,假设你要计算平方根的数S是个正方形的面积。因此你要计算正方形的边长L,L² = S.

2:假设A是L(平方根)的首位,B则是第二位,C是第三位,以此类推。

3:假设Sa是S的第一对位数,Sb是第二对,以此类推。

4:和除法一样,你一次只关注一个数位,这里计算平方根,我们也就考虑两位数(计算得到的是平方根数的每一个数)。同样和除法一样,小数点位置不重要,你可以随后再加上去。

5:看Sa这一对数(本例中Sa=7),要找出其平方根。第一位数A就是最大的、其平方不超过Sa的数字(即A² ≤ Sa < (A+1)²)。本例中, S1 = 7, 2² ≤ 7 < 3² ,因而 A = 2。

6:注意,如果要让88962 除以 7,步骤很类似:先看88962第一位 (8) ,需要一个7的倍数小等于 8。 这表示有个 d 使得 7×d ≤ 8 < 7×(d+1)。 d 等于 1

7:计算下一位数B。

考虑这里的 (10A+B)² = 100A² + 2×10A×B + B²。 (要记住,10A+B 就是个位数是B 、十位数是A 的数:A=1 ,B=2, 10A+B 就是(12)。 (10A+B)² 就是整个正方形的面积。 100A² 就是内部最大的正方形面积, B² 是小正方形的面积,10A×B 是每个长方形的面积。

8:步骤3中,你要从Sa中减掉A² 。因为前面的系数是100,所以要将S中的一对数(Sb)写下来: 这里总面积需要是"Sa Sb" ,而你这时把100A² (大正方形的面积)减掉了。现在步骤4得到的N1(本例中为380)就是剩下部分的面积。N1就等于2×10A×B + B² (两个矩形的面积加小正方形的面积).

9:现在看看N1 = 2×10A×B + B²的值。也可以写作 N1 = (2×10A + B) × B。 现在知道N1(=380) 和 A(=2), 要找B。 B很大可能不是整数,因此要找出最大满足(2×10A + B) × B ≤ N1条件的B ( B+1 就会超过范围了,因此也有: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1))

10:在这里可以将A乘以2,改变为十位数(换句话说就是乘以10),B放在个位数位置,然后将以上的和乘以B。得到(2×10A + B) × B 这个和步骤4中的 "N_×_=" ( N=2×A) 是一样的。在步骤5中,你可以找出最大满足(2×10A + B) × B ≤ N1的整数B。

11:用总面积再减去 (2×10A + B) × B (步骤6左边),得到一个面积:S-(10A+B)²,这个量我们还没计算(下面的步骤会类似地用它算出下一位的数字C)

12:要计算C,重复步骤:把Sc这对数字从S写下来,然后看看最大满足 (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2的整数是多少 (就类似写出"A B" 两位数,然后后面跟着"_×_=" ,找出能写在横线上满足条件的最大数字)。

小提示

把小数点右移两位(作为百位数),右移一位(作为十位数)。

例子中 1.73 可以看做“余数 :780.14 = 27.9² + 1.73

这个方法可以适用于任何位数的,不仅仅是十位数。

可以任意写出计算过程。有的人喜欢把结果数字写在要计算平方根数字上。

还有另一种方法是用连分式来解的,可以在这里找到:

√z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))).

比如要计算780.14的平方根,平方最接近780.14 的数是 28, 因此z=780.14, x=28, y=-3.86。 代入,计只算x + y/(2x)的估计值 (最简项)是 78207/2800 ,大约27.931(1); 计算下一项,得 4374188/156607 大约27.930986(5)。每项都大概比前一项加3 小数位的精确值。

警告

要确定从小数点开始分割数位,比如79,520,789,182.47897变为"79 52 07 89 18 2.4 78 97" 就没用了。

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