初三数学——几何变换
平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
旋转
一、旋转的定义
二、常见的几种模型
三、旋转类型题目
1、正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP"CP中，此时ΔP"AP也为正三角形。
2、正方形类型
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP"中，此时ΔBPP"为等腰直角三角形。
3、等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP"CP为等腰直角三角形。
1、平移的定义
把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。
2、平移的两个要素：
3、对应点、对应线段、对应角
一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。
4、平移方向和距离的确定
（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？
A. 若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。
B. 若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成（有特殊要求例外），而移动距离是由最终要达到的位置确定的。
C. 具体给出从某点P到另一点P"的方向为平移方向，线段PP"的长度为平移距离。
D. 给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10CM）。
图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
5、平移性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。
平移后的图形与原图形：
① 对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；
② 对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；
③ 图形的形状与大小都不变（全等）；
④ 图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。
6、判别平移图形：
除根据定义判别外，还可以根据平移特征，从中去掉那些能互相替代和包含的内容，只要具备以下三条：
（1）这两个图形必须是全等形；
（2）这两个全等形的对应线段必须互相平行（或者在同一条直线上）；
（3）这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。
以上为判别方法一，由判别方法一还可以演变推出如下判别方法二:
（1）这两个图形必须是全等形；
（2）这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同（同位顺时针或同为逆时针）；
（3）这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。
翻折
一、翻折的定义
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
二、翻折的性质
①翻折后两个图形全等，对应边相等，对应角相等。
②对应点连线被对称轴垂直平分。
三、翻折的题型
翻折折叠题型 (一) ，直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路！
翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析！
