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高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析!

一、基本初等函数

1、幂函数

一般地,函数 y = x^a (a 为常数,a∈Q) 叫做幂函数 .

函数 y = x^a (a∈Q) 的性质:

① 所有幂函数在 (0,+∞)上都有定义,并且图象都经过点(1,1).

② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点 (0 , 0)和(1 ,1)在第一象限内递增;

若 a < 0 , 幂函数图象只经过点 (1,1),在第一象限内递减 .

③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限,且不经过第四象限;

如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是坐标原点 .

④ 画幂函数图象时,先画第一象限的部分,在根据函数的奇偶性完成整个图象 .

⑤ 常见幂函数的图象

常见幂函数的图象

2、指数函数

一般地,函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,自变量 x 叫指数,a 叫底数 .

指数函数的定义域是 R .

指数运算法则:

指数运算法则

指数函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 的图象 :

指数函数图象(分两种情况)

指数函数的主要性质:

① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 定义域为 R ,值域 (0,+∞);

函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增,函数 y = a^x ( 0 < x < 1 ) 在 R 上递减 ;

③ 指数函数的图象经过点 (0 , 1).

3、反函数

一般地,对于函数 y = f(x),设它的定义域为 D,值域为 A,

如果对于 A 中任意一个值 y,在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应,且满足 y = f(x) ,

这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数,记作 x = f-1(y) ,

习惯上自变量常用 x 来表示,而函数用 y 来表示,所以把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) .

(1) 反函数的判定:

① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数

② 定义域上的单调函数必有反函数

③ 周期函数不存在反函数

④ 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数 .

(2) 反函数的性质:

函数 y = f(x) 与 函数 y = f-1(x) 互为反函数

函数 y = f(x) 和反函数 y = f-1(x) 的图象关于直线 y = x 对称;

② 若点(a , b)在原函数 y = f(x) 上,则点 (b , a)必在其反函数 y = f-1(x) 上;

③ 原函数 y = f(x) 的定义域是它反函数 y = f-1(x) 的值域;

函数 y = f(x) 的值域是它反函数 y = f-1(x) 的定义域,

④ 原函数与反函数具有对应相同的单调性;

⑤ 奇函数的反函数还是奇函数 .

(3) 求反函数的步骤:

① 用 y 表示 x ,即先求出 x = f-1(y) ;

② x , y 互换,即写出 y = f-1(x);

③ 确定反函数的定义域 .

注:

函数 f(ax + b) 存在反函数,则其反函数为 y = 1/a [ f-1(x) - b ] ,

而不是 y = f-1(ax + b) ,

函数 y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函数 .

4、对数函数

一般地,对数函数

对数函数

就是指数函数

指数函数

的反函数 .

对数函数

的性质:

① 对数函数 y = logax 的图象都在 y 轴的右侧,定义域(0,+∞),值域 R ;

② 对数函数 y = logax 的图象都经过点 (1 , 0);

③ 对数函数 y = logax (a > 1):

当 x > 1 时,y > 0 ; 当 0 < x < 1 时,y < 0 ;

对数函数 y = logax (0 < a < 1):

当 x > 1 时,y < 0 ; 当 0 < x < 1 时,y > 0 .

④ 对数函数 y = logax (a > 1)在 (0,+∞)上是增函数

对数函数 y = logax (0 < a < 1)在 (0,+∞)上是减函数 .

二、习题检测

【习题1】用定义证明:函数 f(x) = x + 1/x 在 x∈[1 , +∞) 上是增函数 .

【解析】

【习题2】已知函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 在区间 [0 , 1] 有最大值 2,求实数 a 的值 .

【解析】

解:函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 的对称轴为 x = a ,

① 当 a < 0 时,

[0 , 1] 是函数 f(x) 的递减区间,f(x) max = f(0) = 1 -a = 2 , 解得 a = -1 ;

② 当 a > 1 时,

[0 , 1] 是函数 f(x) 的递增区间,f(x) max = f(1) = a = 2 , 解得 a = 2 ;

③ 当 0 ≤ a ≤ 1 时,

综上所述,a = -1 或 2 .

【习题3】已知 2^x ≤ 256 , log2x ≥ 1/2 , 求函数

的最大值和最小值 .

【解析】

【习题4】已知 a > 0 且 a ≠ 1 , 求使方程

有解时的 k 的取值范围 .

【解析】

∴ 0 < k < 1 或 k < -1 .

【习题5】某商品进货单价为 40 元,若销售价为 50 元,可卖出 50 个,如果销售单价每涨 1 元,销售量就减少 1 个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为多少元 .

【解析】

解:设最佳售价为 (50 + x ) 元,最大利润为 y 元,

y = (50 + x)(50 - x) - (50 -x)×40

= -x^2 + 40x + 500

当 x = 20 时,y 取得最大值,

∴ 应定价为 70 元 .

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