一、基本初等函数
1、幂函数
一般地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 .
幂函数 y = x^a (a∈Q) 的性质：
① 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1,1）.
② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点 （0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增；
若 a < 0 , 幂函数图象只经过点 （1,1），在第一象限内递减 .
③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；
如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 .
④ 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象 .
⑤ 常见幂函数的图象
常见幂函数的图象
2、指数函数
一般地，函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量 x 叫指数，a 叫底数 .
指数函数的定义域是 R .
指数运算法则：
指数运算法则
指数函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 的图象 ：
指数函数图象（分两种情况）
指数函数的主要性质：
① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域 （0，+∞）；
② 函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 < x < 1 ) 在 R 上递减 ；
③ 指数函数的图象经过点 （0 , 1）.
3、反函数
一般地，对于函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，
如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) ,
这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数，记作 x = f-1(y) ,
习惯上自变量常用 x 来表示，而函数用 y 来表示，所以把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) .
(1) 反函数的判定：
(2) 反函数的性质：
① 函数 y = f(x) 与 函数 y = f-1(x) 互为反函数 ；
原函数 y = f(x) 和反函数 y = f-1(x) 的图象关于直线 y = x 对称；
② 若点（a , b）在原函数 y = f(x) 上，则点 （b , a）必在其反函数 y = f-1(x) 上；
③ 原函数 y = f(x) 的定义域是它反函数 y = f-1(x) 的值域；
原函数 y = f(x) 的值域是它反函数 y = f-1(x) 的定义域，
(3) 求反函数的步骤：
① 用 y 表示 x ，即先求出 x = f-1(y) ；
② x , y 互换，即写出 y = f-1(x)；
③ 确定反函数的定义域 .
注：
若函数 f(ax + b) 存在反函数，则其反函数为 y = 1/a [ f-1(x) - b ] ,
而不是 y = f-1(ax + b) ,
函数 y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函数 .
4、对数函数
一般地，对数函数
对数函数
就是指数函数
指数函数
的反函数 .
对数函数
的性质：
① 对数函数 y = logax 的图象都在 y 轴的右侧，定义域（0，+∞），值域 R ；
② 对数函数 y = logax 的图象都经过点 （1 , 0）；
③ 对数函数 y = logax （a > 1）:
当 x > 1 时，y > 0 ; 当 0 < x < 1 时，y < 0 ;
对数函数 y = logax （0 < a < 1）:
当 x > 1 时，y < 0 ; 当 0 < x < 1 时，y > 0 .
④ 对数函数 y = logax （a > 1）在 （0，+∞）上是增函数，
对数函数 y = logax （0 < a < 1）在 （0，+∞）上是减函数 .
二、习题检测
【习题1】用定义证明：函数 f(x) = x + 1/x 在 x∈[1 , +∞) 上是增函数 .
【解析】
【习题2】已知函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 在区间 [0 , 1] 有最大值 2，求实数 a 的值 .
【解析】
解：函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 的对称轴为 x = a ,
① 当 a < 0 时，
[0 , 1] 是函数 f(x) 的递减区间，f(x) max = f(0) = 1 -a = 2 , 解得 a = -1 ;
② 当 a > 1 时，
[0 , 1] 是函数 f(x) 的递增区间，f(x) max = f(1) = a = 2 , 解得 a = 2 ;
③ 当 0 ≤ a ≤ 1 时，
综上所述，a = -1 或 2 .
【习题3】已知 2^x ≤ 256 , log2x ≥ 1/2 , 求函数
的最大值和最小值 .
【解析】
【习题4】已知 a > 0 且 a ≠ 1 , 求使方程
有解时的 k 的取值范围 .
【解析】
∴ 0 < k < 1 或 k < -1 .
【习题5】某商品进货单价为 40 元，若销售价为 50 元，可卖出 50 个，如果销售单价每涨 1 元，销售量就减少 1 个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少元 .
【解析】
解：设最佳售价为 （50 + x ) 元，最大利润为 y 元，
y = (50 + x)(50 - x) - (50 -x)×40
= -x^2 + 40x + 500
当 x = 20 时，y 取得最大值，
∴ 应定价为 70 元 .
