本文笔者通过简化日活模型，粗略地估算出未来一段时间的产品日活规模。进而通过日活的规模，再去估算一些潜在收益，以及运营成本等等数据。
这段时间，经常有人问到以下的问题：
按照现在的推广和留存，我们在未来最多能到达多少日活？
为了三个月后达到预定的日活，我们需要每天都少推广？
一个产品在某个国家，得达到多少留存之后，推广和收益才能打正（ROI为正）？
其实这些问题本质上，都是在回答一个问题，即：如何预估一个产品的日活？
问题应该有很多解法，提供一个简单思路，总结如下。
日活会受到很多因素的影响，产品迭代，运营活动，推广的变化等等都会影响到日活。当然这些因素中，有的影响较小，有的暂时无法预估。因此在预测的过程中，我们可以将一些影响不大的因素，剔除出去，从而简化得到一个可计算的状态。（这个简化到可计算的过程中，其实就叫数学建模。）
因此为了计算，我们首先构建日活的一个简单数学模型。
建立日活的数学模型
影响日活的因素中，最本质的其实是两个，一个是每日新增用户数，一个是新增用户的留存率。
某一天的日活，我们可以看作是，当天的新增，加上前一天的新增的次日留存用户，再加上大前天的新增的二日留存用户……
以此类推，我们可以认为日活是“当天的新增用户和此前每一天新增用户在当天的留存用户之和”，基于此，我们可以用一个很简单的公式表达日活。
DAU(n)=A(n)+A(n-1)R(1)+A(n-2)R(2)+… …+A(1)R(n-1)
其中，DAU(n)为第n天的日活，A(n)为第n天的新增，R(n-1)为新增用户在第n-1天后的留存率。如果我们假设，每日用户的新增是一个固定的数值A，则公式可简写为：
DAU(n)=A(1+R(1)+R(2)+… …+R(n-1))
上述公式可以看成是日活的一个简单的数学模型。从这个模型中，我们可以看出，新增A是一个较为确定的数值，另一部分：
1+R(1)+R(2)+… …+R(n-1)
留存率是一个产品最为核心的指标了，下图是一个产品的留存率衰减曲线
1-30日留存率衰减曲线
由图中，我们可以看出：留存率的衰减曲线，非常类似幂函数的曲线，其实，在业内绝大部分产品的留存衰减曲线，基本都是符合幂函数曲线。
基于此，我们可以通过幂函数来近似拟合留存率的衰减曲线，也就可以顺利的预估出日活模型中需要的留存之和。
一般在预估一个产品的留存之前，我们会有一些先验的数据基础，如果你的产品已经上线来一段时间，可以使用历史数据作为基础。如果产品还未上线，没有历史的数据，因为不同类型产品的留存和衰减速度都不太一样，因此可以用业内同类型的产品的大概留存数据作为拟合预测的参考。
因此，留存曲线拟合基本会遇到两种情况：
不知道具体每天的留存，只知道次留，周留，月留存等数据，预估每一天的留存。
这两个情况本质上属于同一个问题，这里以第二种情况为例，简单说下如何操作。曲线拟合的方法有很多，这里我介绍一个最为简单的方式，就是利用excel来做一个简单的拟合计算，具体步骤如下：
step1
某产品若干日留存
step2
留存散点图
step3
在excel图表对上述散点添加趋势线，并在趋势线选项中，选择幂函数，并选择显示幂函数公式
基于散点拟合曲线
得到的幂函数为：
y=0.4861*x^(-0.435)，其中x为对应的天数，y为对应天数的留存率。
step4
基于得到的幂函数公式，可以求的所有对应天数的留存率。
计算得到预估的日活
基于得到的幂函数，算出对应的留存率之后，就可以简单求和得到，带入日活公式中：
DAU(n)=A(1+R(1)+R(2)+… …+R(n-1))
这样就可以通过预估的每日新增，得到在未来第n天日活所处的水平。
总结&后记
以上通过简化日活模型，仅考虑新增和留存对于日活的影响（其它影响，也都是通过新增和留存间接对日活产生影响的），可以粗略的估算出未来一段时间的产品日活规模。
进而通过日活的规模，再去估算一些潜在收益，以及运营成本等等数据。上述计算一定存在误差，并且不能满足所有的场景，但整体的思路可以作为参考，应该能搞解决大部分相关问题了。
