作为一名人民教师，时常需要编写教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。我们该怎么去写教案呢？以下是小编为大家整理的正多边形教案，欢迎大家分享。
教学目标：
1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形。
2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形。
3、通过画图培养学生的画图能力；
4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力。
5、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：
(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形。
教学难点：
准确作图。
教学过程：
一、新课引入：
前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形。
二、新课讲解：
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径r或内切圆半径rn，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形。
n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法。其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可。
另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的。
由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论。
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
复习提问：1。哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2。哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)
现在我们要画半径为r的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为r的`圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为r的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论。(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看。(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形。
学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大。对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长。其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会。共3页，当前第1页123
大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角。)画出∠aob=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于ab的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将ao与bo边延长交⊙o于c、d)。正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)
请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形。
大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙o的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心o作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙o的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)
还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线。)
请同学们用此二法在图上画出正八边形。
照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)
综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙o的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙o相交，或作各中心角的角平分线与⊙o相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论。
方法1。画半径2cm的⊙o，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周。
方法2。画半径2cm的⊙o，然后用量角器画出60°的圆心角，
如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)
在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙o上依次截取ab=bc=cd=de=ef，由于误差积累ab≠fa，其二，首先画出⊙o的直径ad，然后分别以a、d为圆心，2cm长为半径画弧交⊙o于b、f、c、e。画出图形比较准确。
请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画。
大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)
画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙o直径ab，以a为圆心，2cm为半径画弧交⊙o于c、d，连结b、d、c即可)
请同学们按此法画半径为2cm的正三角形。
请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？
在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙o的各点即得⊙o的12等分点。引导学生观察∠doe=∠dob-∠eob
∠dob=90°，∠eob=60°∴∠doe=30°。
∴ de是⊙o内接正12边形一边。
三、课堂小结：
这堂课你学了哪些知识？(安排中等生回答：1。用量角器等分圆周作正n边形；2。用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形)
四、布置作业
教材p.168中练习1、2；p.173中13。共3页，当前第3页123
教学目标：
（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；
（2）通过画图培养学生的画图能力；
（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情．
教学重点：
(1)量角器等分圆心角来等分圆；
(2)尺规作圆内接正方形和正六边形．
教学难点：
准确作图．
教学活动设计：
（一）提出问题：
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会应是学生必备能力之一．
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．
教师组织学生进行，方法不限．
目的：充分发展学生的发散思维．
（二）解决问题：
以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)
(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
(2)尺规法：（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可．
(3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=R=2（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．
（三）研究、归纳
1、用量角器等分圆：
依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．
操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的.等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．
问题2：把半径为2cm⊙O九等份．
（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）
归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差．
2、用尺规等分圆：
（1）问题3：作正四边形、正八边形．
教师组织学生，分析、作图．
归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
（2）问题4：作正六、三、十二边形．
教师组织学生，分析、作图．
归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．
（四）总结
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．
（五）作业教材P173中13．
教学目标：
（1）理解正多边形与圆的关系定理；
（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；
教学重点：
理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理。
教学难点：
对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解。
教学活动设计：
（一）提出问题：
问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分（n≥3）圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？
（二）实践与探究：
组织学生自己完成以下活动。
实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？
探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？（正方形对角线的交点。）
（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？
（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？
（三）拓展、推理、归纳：
（1）拓展、推理：
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD。
同理，点E在⊙O上。
所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O。
因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等。因此，以点O为圆心，以弦心距（OH）为半径的圆与正五边形的各边都相切。可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆。
（2）归纳：
正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上
它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径。
其他两个顶点到圆心的距离都等于半径。
正五边形的各顶点共圆。
正五边形有外接圆。
圆心到各边的距离相等。
正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离。
照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的每个中心角都等于。
（3）巩固练习：
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______。
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______。
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的"每一个内角是______。
4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等。
（四）正多边形的性质：
1、各边都相等。
2、各角都相等。
观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
4、边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神。
（五）总结
知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
能力：探索、推理、归纳等能力。
方法：证明点共圆的方法。
（六）作业P159中练习1、2、3。
教学目标：
1、使学生能应用画正多边形解决实际问题；
2、会应用“口诀”画正五边形的近似图；
3、能对较复杂的几何图形进行分解，然后通过画正多边形进行组合．
4、通过解决实际问题培养学生会从实际问题中抽象出数学模型的抽象能力及用数学意识；
5、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力；
6、通过对民间正五边形近似画法依据的探索，培养学生探索问题的能力；
7、通过有关图形的分解与组合培养学生的观察能力、分解组合能力以及画图能力．
教学重点：
应用正多边形的计算与画图解决实际问题
教学难点：
从实际问题中抽象出数学模型，然后正确运用正多边形的有关计算，画图知识解决问题．
教学过程：
一、新课引入：
上节课我们学习了运用量角器等分圆周画正多边形和运用尺规画特殊的正多边形，这节课我们继续研究正多边形的画法在实际问题中的应用等．
二、新课讲解：
在前几课学习了正多边形的有关计算和画法的基础上系统复习本部分内容并会综合运用解决实际问题．本节有关“地基”问题的例题就是通过复习正方形画法进而画正八边形，并对正八边形进行有关计算．通过此例不仅复习了正多边形的画法、计算，而且复习了查三角函数表，解直角三角形的方法，更为重要的是培养了学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，从而提高学生分析问题、解决问题的能力．通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观点．
上节课我们学习了正多边形的画法，哪位同学能叙述用量角器等分圆法画半径3cm的正十边形？(安排中等生回答：先画出半径3cm的圆⊙o，然后用量角器画出36°的中心角，然后依次画36°的中心角，或者用圆规量出36°中心角所对弦长，依次截取即得正十边形)出现误差积累应如何处理？(安排中等生回答：1)适当调节正十边形的边长，2)可能情况下，重新设计画图步骤，减少产生误差的机会)
安排五名学生上黑板分别画半径3cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形，其余学生在下面画，然后师生共同评价所画图形的准确性．
幻灯给出题目，如图7-152，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长a8(精确到0.01m)和面积s8(精确到0.1m2)
哪位同学知道亭子的地基指的是哪个地方？(安排知道的学生回答)哪位同学记得，什么是比例尺？(安排中下生回答，
面图上正八边形的半径应是多少？(安排中下生回答：r=2cm)
请同学们画出这个地基平面图．
大家回忆一下，怎样求正八边形的边长？具体步骤是什么？(安排中等生回答：首先画出基本计算图，然后算出中心角的一半，∠aoc=22°30′．然后选三角函数)请同学们计算这个正八边形的边长．(a8≈3.06(m))
pn·rn)，现在要求这个正八边形的面积，边长已求出，周长自然知，还需求边心距，哪位同学告诉我，求r8应选什么三角函数？(安排中下生回答：选∠aoc的余弦)请同学们求出r8来．(r8≈3.70(m))请同学们计算出这个地基的面积．(s8≈45.3(m2))
我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“顶五九，八五两边分”，它的意义如图：(幻灯展示)，如果正五边形的边长为10，作它的中垂线af，取af=15.4，在af上取fm=9.5，则am=5.9，过点m作be⊥af，在be上取bm=me=8．连结ab、bc、de、ea即可．
例用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形．
分析：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例，由于口诀给出的是正五边形的各部分的比例数，所以不妨设口诀正五边形的边cd=10mm．由已知知道要画正五边形的边c′d′=20mm，因此可知要画的正五边形与口诀正五边形的`相似比为2∶1，因此只要将口诀正五边形的各部分尺寸×2即得要画的正五边形的各部分尺寸．请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形a′b′c′d′e′(安排一中等生上黑板画，其余同学在练习本上画)
虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的，哪位同学知道在五边形abcde中∠cad的度数是多少？(中上生回答：36°，因正五边形每一内角108°，ab=bc ∴∠bac=36°，同理∠dae=36°∴∠cad=36°)当然△cad为顶角36°的等腰三角形，为什么？(中等生回答：∵△abc≌aed(s．a．s)，∴ac=ad．)前面
取2.24作近似值，大家计算ac等于多少？(16.2)ac≈16.2也可说ac
af≈15.4)刚才计算ac≈16.2，那么bm≈8.1，由于ab=10，请大家计算am又应等多少？(am≈5.9)刚才算出af≈15.4，am≈5.9，那么mf显然约为9.5．至此我们已将口诀中的所有数据的来源探索清楚，从而证明我国民间的这种正五边形的近似画法精确度还是很高的．
幻灯给出下列图案：
请同学们观察这两个图形是怎么画出来的，先看第一图形，哪位同学知道的圆心和半径？(安排中上生回答：中点是圆心，oa长是半径)同理的圆心是的中点，的圆心是的中点，哪位同学发现这三个圆心与a、b、c三点恰好是圆o的什么点？(安排中下生回答：六等分点)
请同学们画出这个图形．
请同学们观察第二个图形，花瓣与⊙o的交点恰是⊙o的什么点？
是半径)．
请同学们画出这个几何图案．
三、课堂小结：
本节课我们复习了正多边形的画法和有关计算，并运用这些知识去解决实际问题，学习了民间画正五边形的近似画法并对其科学性进行了探讨，最后学习了分解与组合有关正多边形的几何图案．
四、布置作业
教材p．171中练习1；p．173中12；p．173中14．
教学目标：
1、能应用解决实际问题；会画正五边形的近似图；了解等分圆的美丽图形；
2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力；
3、对学生进行审美教育和文化传统教育和爱国教育；
4、渗透数学建模思想．
教学重点：
应用正多边形的计算与画图解决实际问题．
教学难点：
数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题．
教学活动设计：
（一）知识回顾：
分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形．
要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．
教师巡视，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学生给于指导．
（二）画图应用：
例1、有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长a8(精确到0.01m)和面积S8(精确到0.1m2)
教师引导学生分析：①比例尺=；②正八边形的半径R=2cm；③如何解正八边形和近似计算．
（1）画法：1．以任意一点O为圆心，以4m的，即2cm为半径画⊙O(如图)．
2．作⊙O的直径AC、BD，使AC⊥BD．
3．作平分、的直径EG、FH．
4．顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．
八边形AEBFCGDH就是亭子地基的正八边形．
（2）解（学生分析解题方法）：
（m）
（m）
（m2）
答：（略）
我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，则AM=5.9，过点M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8．连结AB、BC、DE、EA即可．
例2、用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形．
分析：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例．由已知知道要画正五边形的边CD=20mm．请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形ABCDE．
（画法：略．参看教材P170）
说明：虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的．有能力的学生课下可以探究和计算．
通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的.观点．
（三）优美图案欣赏和画法：
请学生欣赏下列图案，分析图案结构，画出图案．
组织学生进行，可以让学生独立完成，也可以让学生协作完成，对画的较好的同学给予表彰．
（四）总结
1、运用正多边形的知识解决实际问题；
2、学习了民间画正五边形的近似画法；
3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案．
（五）作业
教材P171中练习1；P173中12；P173中14．
探究活动
图案设计
某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。为了美观，种植要求如下：
（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃。（注意：面积相等必须由数学知识作保证）
（2）花卉总面积等于广场面积
（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边。
请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）
教学目标 ：
(1)使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理;
(2)通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力;通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力;
(3)进一步向学生渗透特殊一般再一般特殊的唯物辩证法思想.
教学重点：
正多边形的概念与的关系的第一个定理.
教学难点 ：
对定理的理解以及定理的证明方法.
教学活动设计：
(一)观察、分析、归纳：
观察、分析：
1.等边三角形的边、角各有什么性质?
2.正方形的边、角各有什么性质?
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点.
教师组织学生进行，并可以提问学生问题.
(二)正多边形的概念：
(1)概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n3)条边，就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形.
(2)概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形.(正三角形、正方形、正六边形，.)
矩形不是正多边形，因为边不一定相等.菱形不是正多边形，因为角不一定相等.
(三)分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢?
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆.
分析：正三角形三个顶点把圆三等分;正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢?
(四)多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n(n3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
我们以n=5的情况进行证明.
已知：⊙O中， ====，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线.
求证：(1)五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形;
(2)五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
证明：(略)
引导学生分析、归纳证明思路：
弧相等
说明：
(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形;②经过圆的n(n3)等分点作圆的`切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形.
(2)要注意定理中的依次、相邻等条件.
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形.
(五)初步应用
P157练习
2.求证：正五边形的对角线相等.
3.如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形.
(六)小结：
知识：
(1)正多边形的概念.
(2)n等分圆周(n3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.
(七)作业 教材P172习题A组2、3.
教学目的：
1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角 、周长、面积等有关 的计算问题转化为解直角三角形的问题．
2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；
3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；
教学重点：
化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．
教学难点：
正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．
教学过程：
一、新课引入：
前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．
大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．
二、新课讲解：
哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．)
什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半 径叫做正多边形的半径．)
正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安 排中下生回答：边都相等，角都相等．)
什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．)
正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数
正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：
一个外角度
哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)
哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．
哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数
正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关 系？(安排中下生回答：互补)．
根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中
(幻灯展示练习题，学生思考，回答)
1．正五边形的中心角度数是____ __；每个内角的度数是______；
2．一个正n边形的一个外角度数是360，则它的边数n=______，每个内角度数 是__ ____；
3．一个正n边形的一个内角的度数是140，则它的边数n=______，中心角度数是______．
对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路．
解此方程n=9．
幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正 六边形．如下图，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．
1．观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)
2．观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(安排中等生回答：全等，依据( S．S．S)或(S．A．S))
3．将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法(安排中上生回答：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．)
套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如下图，安排学生观察、思考并回答以下问题：
1．这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三角形全等吗？为什么？(安排中下生回答)
2．这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(安排中下生回答： 边心距)
3．正n边形的 n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？(安排中等生回答：2n个)
给出定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．
再套幻灯片的复合片，如图7-140，安排学生观察每个 直角三角形都由正多边形的哪些元素组成 ．
安排中下生回答：直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直角边是正多边形的边心距．另一直角边是正多边形边长的一半(在此安排中等生回答：为什么？)半径与边心距的 夹角是正多边形一个中心角的一半．(安排中等生回答“为什么？”)
讲解：由于这个直角三角形融合了正多 边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决．
幻灯给出正多边形抽象的计算图，教师讲解：
由于正多边形的`有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个 直角三角形就可以了，其余就不画或略画．图中R表示半径，rn表示正n边形的边心距，an表示正n边形的边长，an表示正n边形的中心角．
提问：对于给定具 体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形
(教师讲解)：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的R、rn、an其中一项赋值就可求出其它元素．例如：(幻灯展示题目)
例1 已知：如下图，正△ABC的边心距r3=2．
求：R、a3．
问：要解此题，首先要做什么？(找中等生回答：画出基本计算图)
最后要做什么工作：(找中上生回答：选择三角函 数)
解：
∵n=3
又
完成下列各题：(幻灯展示题目)
1．已知，正方形ABCD的边长a4=2．
求：R，r4．
2．已知：正六边形ABCDEF的半径 R=2，
求：r6，a6．
(对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要帮助的学生)
再回到例1，问：你会求这个正三角形的周长P3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答 ：边长3，因为正三角形 三边相等)．
再问：你会求这个正三角形的面积S3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中 等生回答：直角△AOC的面积6，由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍．或者，等腰△ AOB的面积3，由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同．)
请同学们分别计算上述二题的周长和面积(计算快而准的学生让其自拟题目再练习)[
(幻灯给出例2)：已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6．
(提问)：1．首先要作什么？(安排中下生回答：画基本计算图)
2．然 么？(安排中下生回答：选择三角函数)
P6=9 R．
通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？(安排中下生回答：相等)希望大家记住这个结论：a6=R，因为它不仅有利于计算而且是尺规画正六边形的依据．
三、课堂小结：
哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排中等生归纳)
1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2．运用正多
角计算．
四、布置作业
第一课时
教学目的
1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式。
2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的内角相加要等于 360°。
3．使学生进一步认识图形在日常生活中的应用。
重点、难点
1．重点：通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键。
2．难点：同上。
教学过程
一、复习提问
1．多边形的内角和公式是什么?外角和?
2．什么叫正多边形?
二、新授
本章开头已提出关于瓷砖的铺设问题，今天我们来探究用什么样的正多边形能拼成一个既不留下一丝空白，又不相互重叠的平面图形。
请同学们拿出预先准备好的"若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形。
先用正三角形拼图，你能拼出既不留空隙，又不重叠的平面图形?再依次用正方形、正五边形、正六边形，正八边形试一试，哪些可以，哪些不可以，你从中发现了什么?
通过学生亲自动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°。
下面我们再通过用计算器计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形。
让学生填教科书表9。3。1
每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图呢?
因为60°×6=360°用6个正三角形瓷砖就可以铺满地面
90°×4=360°即用4个正方形瓷砖就可以铺满地面。
为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢?正八边形也不行?
(因为360°÷108°，360°÷154°得数都不是整数)
这就是说，当(360°÷ n )为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。
请同学们把教科书翻到第58页，看图9.1.1中(1)、(2)、(3)分别是用正三角形、正方形、正六边形拼成的。
三、巩固练习
你能用正三角形和正六边形两个结合在一起铺满地面吗?
四、作业
教科书第72页练习1、2。
2．用多种正多边形拼地板
第二课时
教学目的
通过两种以上的正多边形拼地板活动，使学生进一步体会某些平面图形的性质及其位置关系，促使学生在学习中培养良好的情感、态度、以及主动参与、合作、交流的意识，进一步提高观察、分析、概括、抽象等能力，同时使学习进一步认识图形在日常生活中的应用，能欣赏现实世界中的美丽图案。
重点、难点
1．重点：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力。
2．难点：寻找用哪几种正多边形能铺满地板。
教学过程
一、复习提问
1．在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，有哪几种可以用它们铺满地板?
2．用正多边形瓷砖能不留空隙，不重叠地铺满地板的关键是什么?
二、新授
昨天我们已经学习了用一种正多边形拼地板，关键是看哪种正多边形的内角的度数是360°的约数。今天我们要探讨用两种拟上的正多边形拼地板。昨天已尝试了用正三角形和正六边形两种瓷砖拼地板，见教科书图8.4.3为什么能用正三角形，正六边形两种合在一起拼地板呢?
因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地板。
能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢?
大家看教科书图8.4.4，它是用哪几种正多边形铺成的呢?为什么能拼成既没有空隙也没有重叠的平面图形?
(用正十二边形和正三角形拼成的，因为正十二边形的内角为 150°，正三角形的内角为60°，那么2个正十二边形和一个正三角形各一个内角的和恰好等于一周角360°，所以可以铺满地板)
图8.4.5是由哪几种正多边形拼成的呢?为什么能拼成?
(用正十二边形、正六边形、正方形拼成的。因为正十二边形的内角为150°，正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，三者之和正好等于360°，所以可以铺满地板)
观察图8.4.6是由哪几种正多边形拼成的呢?是否也满足这几个正多边形的一个内角之和为360°这个条件呢?
(由正八边形和正方形拼成的，正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么2个正八边和一个正方形各一个内角之和正好等于 360°)
观察图8.4.7，又是由哪些正多边形拼成的?是否满足几个正多边形的一个内角和等于 360°。是由正六边形、正方形、正三角形拼成的，如图所示：
120°+90°+90°+60°=360°满足这几个正多边形的一个内角的和等于360°
三、巩固练习
1．你能用正三角形、正方形、正十二边形拼成不留空隙，不重叠的平面图形吗?
2．教科书第58页练习1、2。
四、作业
教科书习题8.4. 1、2、3。
一、教材分析
1．教学内容：
华师大版实验教科书七年级下册第九章第三节第一课时。
2．地位与作用：
本章第一节是以瓷砖的铺设为学习背景进行导入的。因此，本节既是对前面所提问题的回答，又是对三角形和多边形相关知识的应用；既是学生思维的拓展过程，又是学习“用多种正多边形拼地板”的基础。还有本节所体现的从探索体验到抽象概括的数学思想方法、数学应用意识等都对后面的学习起着举足轻重的作用。
二、教学目标
1．知识与技能：
(1) 通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是：使用给定的某种正多边形，围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角。
(2)在探索地板砖图案的设计过程中，学会欣赏美和创造美。
2．过程与方法：
通过观察、实验、分析、判断、归纳等方法，使学生经历 “拼地板”的探索过程。
3．情感态度与价值观：
(1)通过小组间的竞争与合作，培养学生的竞争意识与团队精神。
(2)使学生体会到数学与现实生活的密切联系，认识到数学的应用价值。
三、教学重点、难点：
重点：总结出正多边形能铺满平面的规律。
难点：识别哪些正多边形能无空隙的拼地板。
四、教学策略
1．教法：以启发探究为主线，以“问题情境----数学建模----应用拓展”为模式，选取学生熟悉的素材创设教学情境，最大限度地调动学生学习的积极性；以学生现有的知识为起点，引导他们构建新的知识体系；借助多媒体课件，使抽象的几何图形变得直观生动；揭示数学从生活中来到生活中去的本质，实现学生从感性到理性认识上的飞跃。
2．学法：以学生的主动参与为前提，以合作交流为形式，实现“问题---探究—解决”的学习过程。学生借助于实物拼图，在与同伴的合作交流中，探索瓷砖铺设的奥秘。
用实验探究的方法学习，能充分发挥学生的主体作用，使学生在活动中实验、在实验中探索、在探索中领悟、在领悟中创新，从而能够很好地突出重点、突破难点。
五、教学过程
(一)创设情景，激发兴趣
问题1．你看到了哪些形状的地板砖？
问题2．说说自己家所铺地板砖的"形状？
（兴趣是最好的老师，先通过展示学生搜集的室内外装饰图片，吸引学生的注意力，提高学生的参与热情，然后提出学生熟悉的问题，为新课题的研究做好铺垫）
教师点题板书：用相同的正多边形拼地板
3．还有哪些正多边形可用来拼地板？
(三个问题的设计由远到近，从图片到生活， 以学生熟悉的素材作为问题情境，出现知无不言、言无不尽、争先恐后的局面。学生的参与意识积极、主动)
（二）小组交流 合作学习
（儿童最喜欢的是扮演成人的角色，因此采用情景剧的形式，举办地板砖展销会，让学生分别扮演地板砖经销商和地板砖采购员）
1．拼一拼:按事先分成的学习小组，每个小组代表一家地板砖经销商，各小组从课前准备好的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形图片中任选一种参赛。
（不用我们督促，他们会不遗余力地去完成。看他们有的裁剪、有的设计，有的拼图。寓教于乐，师生共享。学生动手操作、合作学习的能力在“做”中得到提高）
2．说一说：各小组派代表介绍他们的作品特点
（既锻炼了他们的语言表达能力，又引导他们发现了数学与自然界、环保、美学之间千丝万缕的联系）
3．评一评：采购员点评、筛选作品
（学生间的自评和互评，更能引起他们的情感共鸣）
问题1：为什么正三角形、正四边形、正六边形可以铺满平面而正五边形却留有空隙？
（引导学生用已有的知识经验，从正三角形、正四边形、正六边形的角度特点解释以上现象。）
问题2：用正多边形能铺满平面的条件是什么？
（三）启发探究 总结规律
1．计算填表，寻找规律。
的边数
3
4
5
6
的内角和
180
360
900
720
每个内角
的度数x
60
90
108
120
能否铺
满地面
能
能
否
能
的个数y
6
4
3
xy
360
360
360
360
2．总结规律：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形。
（采用表格的形式，既复习了多边形内角和公式，又得出新结论，本节的重难点在层层分解中得以突破）
3．解决问题：正七边形和正八边形能铺满平面吗？
4．哪些正多边形能铺满平面？
解：设正多边形的边数为n，则 该多边形的每个内角的度数为 ，当 为正整数时，即 为正整数时，用这样的正多边形就可以铺满平面。所以我们只要知道某一正多边形的边数n，把它代入代数式 ，看它的值是否为整数就可以判断其能否铺满平面。
（通过恰当地设未知数，得到一个只与边数有关的代数式。从根据角来判断转化为根据边来判断，使问题进一步得到抽象概括。这样很自然地引导学生将经验上升到理论，从而可以更好的指导实践）。
（当数学思维过程变得触手可及的时候，数学家们也不会再说“数学是冰冷的美丽”）。
（四）学以致用 拓展创新
问题3：我们公司新购了一批正方形地板砖，其中有几箱在运输过程中出现了同样的破损，如图所示，你能帮我们设计废物利用的方案吗？。
(用前面所学的知识去解决新问题，并为学生中的不同个体都提供了解决问题的空间，促使学生从知识向能力的转化，凸现个性，培养创新。学生各抒己见，提出了很多有创意的方案，老师从中提炼出要延伸的内容)任意的三角形或任意四边形也能铺满平面
思考题：用两种或两种以上的正多边形能铺满平面吗？
(本着“让学生带着疑问走进课堂，带着更多更高层次的疑问离开课堂”的教学意图，我采用“问题前置”办法，激发学生进一步探究的欲望，为学习下一节课做准备。)
六、评价分析：
这节课学生以瓷砖的铺设为知识生长点，以三角形和多边形的知识为载体，以老师的指导、评价、激励为动力，以自主探索与合作交流为情趣，通过讨论、动手剪、拼，亲自体验了用正多边形拼地板从现象到本质的抽象过程，并进行了创造性的学习设计。学生不仅相互间实现了信息和资源的共享，不断扩展和完善自我的认知水平，而且学会了交往、学会参与、学会倾听、学会尊重他人，培养了学生的团队精神。
由于受初一学生思维能力的限制，他们提出新问题的意识和能力还有待培养，本节课前，课代表参与了我的备课设计过程，然后扮演采购员的角色，不断地提出新问题。我认为，学生的示范作用比老师的示范作用更容易迁移到学生的潜意识中去，日积月累，潜移默化，学生会实现从解决问题到提出问题的角色转化。
本课内容看似简单，可要实现学生从感性到理性认识上的一个飞跃，不是一个规律、一个应用就能解决的。一节成功的课，不在于解决多少个知识点，而是在解决每个知识点的过程中，学生是否有效参与，是否还学到了书本知识以外的东西。因此，我运用探究式教学法，以学生主动参与为前提，以合作讨论的形式，达到寻找规律的目的，为学生创设一个活跃思维的空间。教师在课堂上只是引导，规律让学生探求，创见让学生发现，总结让学生归纳，从而不仅传授了知识，还发展了学生的能力，训练了学生的思维，使学生学会学习。
一、教学目的
1、巩固上一堂所学知识，以便熟练正确运用。
2、训练学生把实际问题抽象为数学问题，并能准确进行计算的能力。
二、教学重点、难点
重点：正多边形的有关计算化归为解直角三角形的问题。
难点：把实际问题抽象为数学问题并进行计算的能力。
三、教学过程
复习提问
1、正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，试说出这些直角三角形全等的道理。
2、正三角的内切圆半径、外接圆半径和高的比为xxx。
引入新课
上一课我们已经初步掌握了利用定理把正多边形计算问题转化为解直角三角形问题的方法和技能、这一堂我们还要继续熟悉和巩固这种方法，并联系实际解决一些比较简单的实用问题。
新课
这是一堂习题课，方式、方法可以灵活多样，以期激发学生学习兴趣，调动其学习积极性。
例2在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形(课本图7-88)，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5(精确到0、1cm)。
引导学生把拨禾轮的侧面轮廓线画成一个边长为48cm(按一定比例缩小)的正五边形，作出相应的Rt△OAF，解之可得R5(斜边)和r5(一直角边)。
告诉学生，轮廓线在正多边形的机械零件图、装饰图案等各种尺寸的"计算问题中经常遇到，要仿照这个例子进行计算。
如图1，寻找解题思路时，根据△AOB的特殊性，即∠AOB=36°，∠OAB=∠OBA=72°、若能作出∠OBA的平分线，则立刻可得两个相似△OAB和△BAM，据此列出关于R的二次方程，问题获解。
这就是第二册中学过的黄金分割、黄金分割重要的实用价值和理论意义，例如在优选中就有一种重要的方法，即所谓0.618法就是这种原理、对于有余力的学生，可让其阅读教科书第二册中的读一读“黄金分割”。
一、教材及学生分析
教材使用的是广东省佛山区教学研究室编写的五年级信息技术教材，本课是第一单元LOGO语言基本命令的第五课，在这之前学生已经学习了小海龟的一些基本命令，如前进，后退、左转、右转、提笔、落笔等命令，本课主要目的是利用前进和右转等基本命令画正多边形，要求学生发现正多边形的特点，找到画正多边形的规律，从而知道如何计算小海龟的转动角度，并学会用重复命令（repeat n [一组命令]），完成同样的任务。本课内容分为两节课学习，本课为第一课时，第二课时是学生做练习，巩固学习到的知识。
二、教学目标
1、知识目标：学会指挥小海龟准确地画出正多边形，学会使用repeat命令。
2、能力目标：通过编程练习，培养严谨、认真、科学的编程习惯，提高计算能力、思维能力和推理能力。
3、情感目标：在独立思考的基础上，同学之间相互协作，以组为单位相互竞赛，养成积极进取的学习习惯。
三、教学重点
1、了解正多边形的特点是指各边长度相同的多边形，知道如何画正多边形。
2、能计算出小海龟画正多边形时的旋转角度。
3、掌握快速的`编写语句的习惯，若需相同或相似的命令行，可直接将光标移动到前面行任意地方，按回车键即可。
4、对于同样的任务，学会使用重复命令。
四、教学难点
１、如何计算小海龟的旋转角度。
２、重复命令的书写规则和正确使用。
五、教学准备
计算机课室、大屏幕投影、红蜘蛛控制软件、Logo软件、纸制小海龟等。
六、教学过程
（一）复习旧知，导入新课：(5分钟)
1、小组竞赛画屏幕所示直线、折线、直线与折线
2、今天我们的学习任务，就是利用画直线、折线的简单命令，来画一些复杂的几何图形。
（二）认识正多边形（包括正三角形、正方形、正五边形、…、正八边形、…）。
1、这些图形的名称是什么，它们有什么共同特点？请学生发现规律，教师可提示他们发现边或角有什么特点。（正多边形，各条边相等）
2、今天我们的学习任务就是指挥小海龟画这些图形。如何画出这些图形？
（三）学习如何画正多边形（15分钟）：
1、学生说说如何画正四边形，如何画正三角形？可否画出正五边形？那利用你们以前的知识，可否画出正五边形，正七边形呢？
2、学生思考、讨论，可利用以前了解的三角形和正方形的内角知识，得出正三角形、正方形的画法。但如何画好正五边形、正六边形等，则只能靠猜测了，提醒教育学生，养成严谨的、科学的学习习惯，得出结论前要有科学依据，不要想当然。
3、教师介绍新方法，用课件和实物演示小海龟画正三角形、正四边形、正五边形的过程，启发学生思考小海龟是如何画图的，它向哪边转动，转的总角度，转了多少次，每次转的角度。
4、学生讨论：小海龟转的总角度是多少？小海龟要转动几次？画正三角形时，每次转多少度？画正四边形时，每次转多少度？画正五边形呢？正六边形呢？
5、学生：画正多边形时，旋转的角度=360/多边形的边数。师生共填表格中三角形至六边形。
6、独立思考画正多边形的方法，为比赛做准备。
7、学生分小组比赛画多边形，学会选择表示角度的最佳方法（10分钟）
比赛要求：第一小组画正三角形，第二小组画正五边形，第三小组画正七边形。画做得快的可以教同学，但不可以直接帮同学做。（比赛题目故意设置难易不同，画正七边形的同学转动的角度为无限循环小数51.428571,并且要七次输入同样命令，为下面的内容做准备。）
1、同学们如何快速输入重复命令的第一条秘决：光标移动到上一行任意位置，按回车键即可。
2、转动角度命令的表示方法：rt 360/多边形的边数。
（四）学习用重复命令画多边形（15分钟）。
1、告诉学生快速写语句的第二秘决：使用重复命令。
2、我们经常会使用到一些相同的命令，当一些命令完全相同时，我们可以将他们集合在一起，然后命令他们重复执行。
3、课件展示：重复命令画多边形的格式是：repeat n [fd 边长 rt 360/边数
（1）比赛继续进行，使用重复命令画七边形、八边形、九边形。
（2）使用重复命令，画一个边长为30的正18边形。（让学生明白当多边形边数越多时，越像圆，为下节课《圆和圆弧》做准备）。
（五）教学：（5分钟）
1、各组在竞赛中成绩如何？
2、今天我们学到了什么？
3、如何计算正多边形的旋转角度，完成表格，正七边形及正多边形部分。
4、重复命令的格式如何？什么情况下使用？画正多边形的命令如何？
Repeat 边数 [fd 边长 rt 360/边数]
附：板书设计
画正多边形
几何图形
边数
旋转公式
每次旋转角度
正三角形
3
360/3
120
正四边形
4
360/4
90
正五边形
5
360/5
72
正六边形
6
360/6
60
正七边形
7
360/7
51.428571……
边数
360/边数
Repeat 边数 [fd 边长 rt 360/边数]
教学目标：
1、使学生理解正多边形概念；
2、使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形。
3、通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；
4、通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力。
教学重点：
（1）正多边形的定义；
（2）n等分圆周（n≥3）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。
教学难点：
对正n边形中泛指“n”的理解。
教学过程：
一、新课引入：
同学们思考以下问题：
1、等边三角形的边、角各有什么性质？
2、正方形的边、角各有什么性质？[安排中下生回答]
3、等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？[安排中上生回答：各边相等、各角相等]。
各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形。这就是我们今天学习的内容“7。15正多边形和圆”。
二、新课讲解：
正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加生产劳动都是必要的。因此本节课首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形的定义和圆的有关知识推导出正多边形与圆的第一个关系定理，即n等分圆周就可得到圆的内接或外切正n边形，它是正多边形画图的理论依据，因此也是本节课的重点之一。
同学回答：什么是正多边形？[安排中下生回答：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。]
如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形。等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。
幻灯展示图形：
上面这些图形都是正几边形？[安排中下生回答：正三角形，正四边形，正五边形，正六边形。]
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？[安排中下生回答：矩形不是正多边形，因为边不一定相等。菱形不是正多边形，因为角不一定相等。]
哪位同学记得在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？[安排记起来的学生回答：在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么其余量都相等。]
要将圆三等分，那么其中一等份的弧所对圆心角度数是多少？要将圆四等分、五等分、六等分呢？[安排中下生回答：将圆三等分，其中每等份弧所对圆心角120°、将圆四等分，每等份弧所对圆心角90°、五等分，圆心角72°、六等分，圆心角60°]
哪位同学能用量角器将黑板上的圆三等分、四等分、五等分、六等分？[接排四名上等生上黑板完成，其余学生在下面练习本上用量角器等分圆周。]
大家依次连结各分点看所得的圆内接多边形是什么样的多边形？[学生答：正多边形。]
求证：五边形abcde是⊙o的内接正五边形。
以幻灯所示五边形为例，哪位同学能证明这五边形的五条边相等？[安排中等生回答：]
哪位同学能证明这五边形的五个角相等？[安排中等生回答：]
前面的证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的。如果n等分圆周，（n≥3）、n=6，n=8……是否也正确呢？[安排学生们充分讨论]。
因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等。又n边形的每个内角对圆的（n—2）条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性。
定理：把圆分成n（n≥3）等份：
（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？大家讨论讨论看看。
经过圆的五等分点作圆的切线，大家观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？
pq、qr、rs、st分别是经过分点a、b、c、d、e的⊙o的切线。
求证：五边形pqrst是⊙o的外切正五边形。
由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同学能说明五边形pqrst的各角都相等？[安排中上生回答]哪位同学能证明五边形pqrst的各边都相等？[安排中等生回答。]
前面同学的证明，说明“经过圆的五等分点作圆的`切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形。”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的以它n等分点为切点的外切n边形是正n边形。
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
定理（2）中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？同学们相互间讨论研究看看。
三、课堂小结：
本堂课我们学习的知识：
1、学习了正多边形的定义。
2、n等分圆周（n≥3）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。
教学目标：
（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；
（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；
（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想。
教学重点：
正多边形的概念与的关系的第一个定理。
教学难点：
对定理的理解以及定理的证明方法。
教学活动设计：
（一）观察、分析、归纳：
观察、分析：
1。等边三角形的边、角各有什么性质？
2。正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点。
教师组织学生进行，并可以提问学生问题。
（二）正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形。等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形。（正三角形、正方形、正六边形，……。）
矩形不是正多边形，因为边不一定相等。菱形不是正多边形，因为角不一定相等。
（三）分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分。要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形。要将圆六等分呢？
（四）多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n（n≥3）等份：
（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
我们以n=5的情况进行证明。
已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线。
求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；
（2）五边形PQRST是⊙O的"外切正五边形。
证明：（略）
引导学生分析、归纳证明思路：
弧相等
说明：（1）要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n（n≥3）等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n（n≥3）等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形。
（2）要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。
（3）此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
（五）初步应用
P157练习
2。求证：正五边形的对角线相等。
3。如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形。
（六）小结：
知识：（1）正多边形的概念。（2）n等分圆周（n≥3）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。
（七）作业教材P172习题A组2、3。
教学内容：LOGO语言重复命令
知识目的：
1、使学生了解重复命令的特点。
2、掌握重复命令的用法，能使用重复命令画出各种图形。
能力目标：
1、能总结重复的内容
2、重复的次数
情感目标：
1、增强学生学习信息技术的兴趣。
2、培养学生的协作意识。
教学重点：重复命令的格式。
教学时间：一课时
教学过程：
1.画正方形
⑵屏幕显示画正方形的8条命令，学生观察有何特点。画正方形的命令是由4组完全相同的命令（fd 50 rt 90）组成。
⑶屏幕显示“repeat 4[fd 50 rt 90]”，请同学在LOGO语言中输入，看一看有何效果。（也画出了一个正方形）
⑷教师讲解：这条命令也可以画正方形，而且比刚才我们输入的8条命令要简洁了许多。这就是重复命令。用lg语言绘画时，检查要重复相同格式的命令，使输入格式变得非常繁琐。为了使命令变得简单而且清晰，可以使用重复命令repeat，只要输入这道命令，就可以完成许多相同的`操作，小海龟就轻松多了。
⒉讲解重复命令的格式
通过“repeat 4[fd 50 rt 90]”了解重复命令的格式：repeat 重复的次数[重复执行的内容]强调讲解该命令。
从这节课开始我们学习重复命令，学会这条命令后，我们就能画出很多由重复图形组成的漂亮图形。
小海龟每次转360÷5=72度。
命令：REPEAT 5[FD 50 RT 72]或REPEAT 5[FD 50 RT ]边长为60的正六边形小海龟每次转360÷6= 度。
命令：REPEAT 6[FD RT ]或REPEAT 6[FD RT ]小海龟每次转 度。
命令：画出来的是什么图形？正多边形的边数越 画出的图形就越像
3、小结
今天，我们学习了重复命令，让我们从比较繁琐的键盘操作中得到了解放了。师生再温习一下命令格式，需强调的地方。只要设置好下面三个数，就可以正确使用重复命令：
1. 重复的次数；
2. 每次走的步数；
3. 每次转动的角度。
教学后记
教学目标：
（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；
（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；
（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识。
教学重点：
综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归。
教学难点：
综合运用知识证题。
教学活动设计：
（一）知识回顾
1。什么叫做正多边形？
2。什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
3。正多边形有哪些性质？（边、角、对称性、相似性、有两圆且同心）
4。正n边形的每个中心角都等于。
5。正多边形的有关的定理。
（二）例题研究：
例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形。
已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’。
求证：五边形ABCDE是正五边形。
分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可。
教师引导学生分析，学生动手证明。
证法1：连结OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE外切于⊙O。
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD。
∴∠BAO=∠OCB。
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA。
∴五边形ABCDE是正五边形。
证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD。
∠B=∠C∠1=∠2=。
同理===，
即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点。所以五边形ABCDE是正五边形。
反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点。由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”。
此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA。
求证：五边形ABCDE是正五边形。（证明略）
分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法。
拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N。
求证：五边形ABCDE是正五边形。（证明略）
学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬。
例2、已知：正六边形ABCDEF。
求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆。
作法：1过A、B、C三点作⊙O。⊙O就是所求作的正六边形的外接圆。
2、以O为圆心，以O到AB的"距离（OH）为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆。
用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆。
练习：P161
1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形。
2、（口答）下列命题是真命题吗？如果不是，举出一个反例。
（1）各边相等的圆外切多边形是正多边形；
（2）各角相等的圆内接多边形是正多边形。
3、已知：正方形ABCD。求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆。
（三）小结
知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法。
能力与方法：重点复习了正多边形的判定。正多边形的外接圆与内切圆的画法。
（四）作业
教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4。
探究活动
折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形。
（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）
（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形。
（提示：可以。主要应用把一个直角三等分的原理。参考图形如下：
①对折成小正方形ABCD；
②对折小正方形ABCD的中线；
③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；
④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形。）
探究问题：
（安徽省20xx）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形。如图一，△ABC是正三角形，形，==，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形。我想，边数是7时，它可能也是正多边形。
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等。
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）。
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）。
（1）[说明]
（2）[证明]
（3）[猜想]
解：（1）由图知∠AFC对。因为=，而∠DAF对的=+=+=。所以∠AFC=∠DAF。
同理可证，其余各角都等于∠AFC。所以，图1中六边形各内角相。
（2）因为∠A对，∠B对，又因为∠A=∠B，所以=。所以=。
同理======。所以七边形ABCDEFG是正七边形。
猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，……时），各内角相等的圆内接多边形是正多边形。
