物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（六）
约翰·贝兹， 迈克·斯徳
2009年3月2日
2.6 闭范畴
在量子力学中，你可以通过一种叫“门瞬移”的技术将一个线性算符f:X→Y编码在一个量子态中。在拓扑中，对于任何缠结f:X→Y有一种方法将它的输入端弯回去变成输出端的一部分。在逻辑中，对于从一些假定X 到某个结论X的一个证明，我们可以从没有假定出发，得出结论“X意味着Y”。在计算机科学中，对于任何以X类型为输入，以Y类型为输出的程序，我们可以把它看成一种新类型的数据段：“函数类型”。统一所有这些例子的内在概念就是“闭范畴”。
对于任意范畴C中的给定对象X和Y，存在一个从X到Y的态射的集合，记为hom(X,Y)。在一个闭范畴中，还会有一个从X到Y的态射的对象，我们把它记为X Y。（许多其它的记号也被人使用。）在这一情形下我们说是一个“内部态射”，因为对象X Y处于C的内部，而不是其“外部”，处在集合的范畴中。
闭范畴由艾伦伯格和凯利于1966年引入。尽管这些作者也能对任何范畴定义一个闭结构，最终内部态射在幺半范畴中最容易理解。其原因在于，如果我们的范畴有一个张量积，那么当从X⊗Y到Z的态射与从Y到XZ的态射处于自然的一一对应时，该范畴正好是闭的。换句话说，它是闭的，如果我们有一个自然同构：
Hom(X⊗Y,Z) ≅ Hom(Y, XZ)
f ↦
例如，在范畴 Set 中，如果我们将 X⊗Y 取为笛卡尔积 X×Y，那么X Z就是从X到Z的函数的集合，而且我们会有下面两个函数的一一对应：
• 函数f，吞入X⊗Y的元素，吐出Z的元素；
• 函数，吞入Y的元素，并吐出从X到Z的函数。
这一对应按如下方式进行：
(x)(y)=f(x,y)。
在考虑其它例子之前，我们必须对“闭幺半范畴”做出完全严格的定义。为此，我们得注意对于任何范畴C ，存在一个函子
hom: Cop × C → Set。
定义13 一个范畴C的反范畴Cop 拥有与C一样的对象，但Cop中的一个态射 f: X→Y是C中的态射f: Y→X，并且Cop 中的合成态射 gf 是C中的合成态射 fg。
定义14 对于任何范畴C，态射函子
hom: Cop × C → Set
将任意对象(X,Y)∈ Cop × C映射到集合hom(X,Y)，并且把任意态射(f,g) ∈ Cop × C映射到函数
hom(f,g): hom(X,Y) → hom(X´,Y´)
h ↦ ghf
其中f: X´→ X和g: Y→ Y´是C中的态射。
定义15 一个幺半范畴C是左闭的，如果存在内部态射函子：
：Cop × C → C
以及一个称为柯里化的自然同构c，其对任意X,Y,Z∈ C指定双射
cX,Y,Z: hom(X⊗Y,Z) hom(X,YZ)。
它是右闭的，如果存在如上的内部态射函子以及自然同构：
cX,Y,Z: hom(X⊗Y,Z) hom(Y,XZ)。
术语“柯里化”主要用于计算机科学中，而起因于柯里的工作。在本节的余下部分我们仅仅考虑右闭幺正范畴。幸运的是，在辫子幺半范畴中左闭跟右闭并没有实质性的差异，因为编织给出了同构 X⊗Y≅Y⊗X。
我们所有幺半范畴的例子都是闭的，不过我们将看到，再一次地，Set不同于其它：
• 笛卡尔范畴Set是闭的，其中 X Y 就是从X到Y的函数。在Set或者任何其它的笛卡尔闭范畴中，内部态射 X Y 通常记为YX。为了缩小不同记号的数目，并强调不同环境中的类似性，我们将不会这么做：我们将一直使用 X Y。为了将Set当成左闭的，我们跟前述一样定义函数f: X⊗Y→Z的柯里化版本：
(x)(y)=f(x,y)。
为了将它当成右闭的，我们反过来定义其为：
(y)(x)=f(x,y)。
这看上去有点别扭，不过它会很适合于弦图。
• 附带通常张量积的对称幺半范畴Hilb 是闭的，其中X Y是从X到Y的线性算符的集合，可以用标准的方法做成一个希尔伯特空间。在此情形下，我们有同构
X Y ≅ X*⊗Y
其中X*是希尔伯特空间X的对偶，也就是说，线性算符f:X→ℂ的集合，并以常规方式做成一个希尔伯特空间。
• 幺半范畴Tangk(k≥1)是闭的。跟Hilb一样，我们有
X Y ≅ X*⊗Y
其中X*是X的定向反转版本。
• 对称幺半范畴nCob也是闭的；同样
X Y ≅ X*⊗Y
其中X*是(n-1)-流形X的定向反转。
除去Set，所有这些例子其实都是“紧的”。这大体上意味着 X Y同构于X*⊗Y，其中X* 是某个被称为 X 的“对偶”的对象。但为了对此严格化，我们需要在一个任意的幺半范畴中定义一个对象的“对偶”。
为此，我们对 Hilb 的情形加以推广。正如已经提到的，每一个对象X∈ Hilb 都有一个对偶 X*，由所有的线性算符f:X→I组成，其中幺元对象I就是ℂ。于是会有这样一个线性算符
eX: X⊗X* → I
x⊗f ↦ f(x)，
被称为X的余幺元。此外，从X到Y∈ Hilb 的所有线性算符形成的空间可等同于X*⊗Y。因此，还会有所谓X的幺元，即这样一个线性算符：
iX : I → X⊗X*
c ↦ c1X，
它将任何复数c投射到相应倍数的单位算符。
如果我们借用费曼的一些思想，可以更清楚地看出幺元和余幺元的重要性。在物理中，如果X是某个粒子的内部态构成的希尔伯特空间，X* 就是其对应的反粒子的希尔伯特空间。费曼认识到将反粒子视为逆着时间方向运动的粒子是很有启发意义的。因此，我们将一条标记为X*的线仍然画成以X为标记的线，不过带着指向“时间逆向”的一个箭头：也就是说，向上而不是向下：
（这里我们必须承认，大多数物理学家使用相反的约定，其中时间是朝着页面上端的。因为我们是从上往下阅读的，我们倾向于让时间方向顺着页面往下。）
如果我们将X*画成逆着时间运动的X，那么幺元可以画成一个帽子：
而把余幺元画成一个杯子：
在费曼图中，这些描述了虚粒子-反粒子对的产生和湮灭！
之后结果表明幺元和余幺元满足两个方程，之字形方程：
验证这些是线性代数里一个有趣的练习，我们把它留给读者。如果我们把这些方程写成交换图，就必须加入一些结合子和幺元子，于是它们会变得有一点吓人：
不过，它们其实就是在说弦图中的之字形可以被拉直而已。
这在像Tangk 和 nCob 等例子中尤为活灵活现。例如，在2Cob中，取X为圆圈，幺元就像这样：
而余幺元则像这样：
在这情形下，之字形恒等式是说我们可以拉直一段弯弯曲曲的管子。
现在我们已经准备好做一些定义了：
定义 16 在一个幺半范畴中给定对象X*和X，我们称X*是X的右对偶，而X是X*的左对偶，如果存在分别称为幺元和余幺元的态射
iX : I → X⊗X*
和
eX: X⊗X*→ I，
并且它们满足之字形方程。
你可以验证一个对象的左或右对偶在相差一个典范同构的意义上是唯一的。因此，我们通常说一个对象的右或左对偶，当它存在时。
定义 17 一个幺半范畴被称为是紧的，如果每一个对象X∈C既有左对偶，又有右对偶。
通常术语“自控的”在这里被替代“紧的”来使用。许多作者将术语“紧的”保留到当C是对称的或者至少是辫子的情形；于是左对偶等同于右对偶，让问题大为简化。更加令人混淆的是，紧对称幺半范畴还常常就被叫做“紧闭范畴”。
对最后一段术语的一个部分解释是，任何紧幺半范畴自动是闭的！为此，我们定义对象上的内部态射为
我们必须接着说明 * 操作自然地扩展为一个函子*:C→C，因此实际上是一个函子。最后，我们必须验证存在自然同构
hom(X⨂Y,Z) ≅ hom(Y,X*⨂Z)。
以弦图来表示，这一同构将任意态射
拿来，把标记为X的输入线弯回去，使其变成输出端：
于是，在一个紧幺半范畴中，我们有
但一般来说，闭幺半范畴并不允许箭头指向上方！因此，画出内部态射更是一个挑战。我们可以使用同样类型的符号，只要我们加上一个装饰品——一个扣子——将两根弦绑在一起：
仅当我们的闭幺半范畴恰好是紧的，我们才能去掉扣子。
假定我们在处理一个闭幺半范畴。因为我们将态射f:X⨂Y→Z画成如下这个样子：
我们可以把标记X的输入线弯下来，使它变成输出端，从而画出它的柯里化版本
:
注意当我们弯下标记为X的线时，一个像这样的帽子出现了：
闭幺半范畴并不真正拥有一个帽子，除非它们是紧的。因此，我们画了一个气泡围住了f和这个帽子，以避免做出任何非法操作。在紧的情形，气泡和扣子都是不必要的，因此我们把画成这样：
柯里化的一个重要的特例给出了态射f:X→Y的名称,
这可以通过柯里化下面的态射而得出
frX :I⨂X→Y。
在弦图中，我们将如下画出：
在范畴Set中，幺元对象是单元素集合，1。因此，从这一对象到集合Q选出Q中的一点。特别地，名称 从XY中选出与函数f:X→Y相对应的元素。更一般地，在任何笛卡尔闭范畴中幺元对象是终端对象1，而从1到一个对象Q的态射被称为Q的一个点。因此，哪怕在这一情形下，我们也可以说态射f:X→Y的名称是XY的一个点。
类似的一些事情对Hilb也适用，不过这个例子是紧的，而不是笛卡尔的。在Hilb中，幺元对象I就是ℂ。因此，从I到任意希尔伯特空间Q的非零态射从Q中选出一个非零矢量，我们将其归一化后得到Q中的一个态：也就是，一个单位矢量。特别地，一个非零态射f:X→Y的名称给出X*⨂Y中的一个态。这种将算符编码成态的方法就是“门瞬移”的基础。
因为我们将态射g:Y→XZ画成这样：
我们在画其“去柯里化”的版本:X⨂Y→Z 时将输出端X弯上去变成输入端：
再一次地，在将X线弯上去时形成的“杯子”周围我们必须放入一个气泡，除非我们在一个紧幺半范畴中。
去柯里化的一个很好的例子是求值态射：
evX,Y: X ⨂ (X Y) → Y。
这是通过去柯里化以下恒同态射而得到的
在Set中，拿出任何X到Y的函数，将它在X的任意元素上求值，得出Y 中的一个元素。以弦图来表示，求值态射就好像这样：
在任何闭幺半范畴中，我们可以通过求值从名称中恢复其态射。更准确地说，这个图是交换的：
或者，以弦图来表示：
我们把这个的证明留作练习。一般而言，你必须用到柯里化的自然性。在紧幺半范畴的特殊情形，有一个非常妙的图形证明！只要炸开气泡，再去掉扣子就行了：
结果就可以从之字形恒等式之一推导出来。
在我们对弦图的快速介绍中，我们还没有时间展示这些图形如何在解决具体问题时成为一种强有力的工具。因此，为了深入学习，这里给出一些好的出发点：
• 李群的表示在量子物理，特别是规范场论中扮演着基本的角色。每一个李群都有一个由有限维表示构成的紧对称幺半范畴。茨维塔诺维奇在他的书《群论》中为典型李群SU(n),SO(n),Sp(n)以及更奇特的“例外”李群的这些表示范畴发展了详尽的弦图描述。他的书还展示了如何利用这一技术来简化规范场论中的复杂计算。
• 量子群作为群的推广出现在2d和3d物理中。一个很大的差异是量子群的有限维表示构成紧辫子幺半范畴。考夫曼的《纽结与物理》一书是量子群如何出现在纽结理论和物理中的出色介绍；它里面塞满了弦图。关于量子群和辫子幺半范畴的更多细节，还可参考卡塞尔的书。
• 考夫曼和林斯曾写过最简单的量子群SUq(2)的表示范畴的一种优美的弦图处理方案。他们还用它构架出跟3d和4d拓扑量子场论相关联的一些有名的3维流形不变量：威滕-雷谢提金-图拉耶夫，图拉耶夫-维罗，以及克兰-耶特不变量。在这个例子中，弦图通常被称为“q-变形自旋网络”。关于向其它量子群的推广，可参看图拉耶夫以及巴卡洛夫与基里洛夫等人更深入的著述。关键的要素是被称为“模张量范畴”的一类特殊的紧辫子幺半范畴。
• 科克写过2d拓扑量子场论的一本很好的入门书，其中利用图形方法来处理 2Cob。
• 阿布拉姆斯基，科艾克以及合作者将弦图发展为理解量子计算的一种工具。最简单的介绍见科艾克的“幼儿园量子力学”。
