物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（四）
约翰·贝兹， 迈克·斯徳
2009年3月2日
2.3 幺半范畴
在物理学中，将两个并排放置的系统看作形成了一个单一的系统往往是很有用的。在拓扑学中，两个流形的无交并本身也是一个流形。在逻辑学中，两条陈述的合取还是一条陈述。在编程中，我们可以把两种数据类型组合成一种单一的“乘积类型”。“幺半范畴”的概念将所有这些例子统一在一个单一的框架当中。
一个幺半范畴C拥有一个函子⨂：C×C→C，它取出两个对象X和Y，把它们放在一起给出一个新的对象X⨂Y。为了对此严格表述，我们需要范畴的笛卡尔积：
• 对象是由一个对象X∈C与另一个对象X´∈C´组成的对(X，X´)；
• 从(X，X´)到(Y，Y´)的态射是由态射f:X→Y与态射f´:X´→Y´组成的对(f,f´);
• 合成是按分量完成的：(g,g´)(f,f´)=(gf,g´f´）;
• 恒同态射是按分量定义的：1(X,X´)=(1X,1X´)。
麦克莱恩1963年定义了幺半范畴。其定义的微妙之处在于这一事实：(X⨂Y) ⨂Z与X⨂(Y ⨂Z)通常并不相等。取而代之，我们必须指定它们之间的一个同构，叫做“结合子”。类似地，尽管幺半范畴具有“幺元对象”I，通常I⨂X和X⨂I并不等于X。取而代之，我们必须指定同构I⨂X≅X和X⨂I≅X。为了使其可控，这些同构必须接着满足某些方程：
定义7 一个幺半范畴由下列要素组成：
• 一个范畴 C，
• 一个张量积函子⨂: C×C→C，
• 一个幺元对象I∈C，
• 一个称为结合子的自然同构，对每三个对象X,Y,Z∈C指定一个同构
• 称为左和右幺元子的自然同构，对每个对象X∈C指定同构
使得：
• 对所有的X,Y∈C三角形方程成立：
• 对所有的W,X,Y,Z∈C，五边形方程成立：
当我们对四个对象做张量积时，有五种方式把它用括弧括起来，而且一眼看去结合子使得我们能建立两种从 ((W⨂X) ⨂Y) ⨂Z 到W⨂(X⨂(Y⨂Z)) 的同构。不过，五边形方程告诉我们，这两种同构是相等的。当我们对更多对象做张量积时，会有更多方式将它们分别括起来，进而通过结合子会在它们之间建立更多的同构。不过，麦克莱恩说明五边形恒等式意味着这些同构全都一样。类似地，如果我们还假定三角形方程，那么从结合子和左右幺元律所构造出来的具有相同源对象和靶对象的同构都是相等的。
在一个幺半范畴中我们可以“并行”地实施过程，而不仅仅是“串行”。串行过程就是态射的合成，在任何范畴都可以实施。但在一个幺半范畴里我们还可以张量积态射f:X→Y与态射f´:X´→Y´，获得一个“并行过程”f⨂f´: X⨂X´→Y⨂Y´。我们能以多种方式把它画出来：
更一般地，我们可以把任意态射
f: X1⨂∙∙∙⨂Xn → Y1⨂∙∙∙⨂Ym
画成带有n条输入线和m条输出线的一个黑盒子：
（译注：作者在上图中给出的是n=3,m=2的例子，并没有画出n,m任意的情形。）
我们把幺元对象省略掉。例如，这样我们就可以把态射f:I→X画成下面的样子：
通过合成和张量积态射，我们可以画出类似于费曼图的精致图形：
主导幺半范畴的定律使得我们可以在画这类图形时忽略掉结合子和幺元子，而不会带来麻烦。其原因在于，麦克莱恩的一致性定理表明任何幺半范畴都在某种适当的意义上“等价于”一个特殊的幺半范畴，其中所有结合子和幺元子均为恒同态射。
我们可以用很多种方式变形图像，而不改变它所描述的态射。例如，上面的态射跟下面这个是相等的：
每个使用弦图在幺半范畴中做计算的人起初都会担心游戏的规则：我们到底能怎样 变形这些图形而不改变它们描述的态射？与其精确地陈述这些规则——那会有一点技术化——我们倒是鼓励你自己去探索哪些是允许的，哪些不是。例如，演示一下我们可以像下图一样将黑盒子上下滑动：
关于主导弦图的规则的正式处理，可以尝试乔亚尔和斯特里特的原始文章以及耶特的书。
现在让我们转向实例。这里最关键的是要认识到同样的范畴常常可以配备不同的张量积，从而得出不同的幺半范畴：
• 一种将Set做成一个幺半范畴的方式是取X⨂Y为笛卡尔积X×Y，这样幺元对象就是任意单元素集合。注意这一张量积并不是严格结合 的，因为(x,(y,z))≠((x,y),z)，不过存在一个自然同构(X×Y) ×Z X×(Y×Z)，而这就是我们的结合子。类似的考虑给出左右幺元子。在这幺半范畴中，态射f:X→Y与态射f´:X´→Y´的张量积是以下函数：
f×f´: X×X´→ Y×Y´
(x,x´)↦(f(x), f´(x´))。
还有一种办法把Set做成一个幺半范畴，就是将X⨂Y取为X和Y的无交并，我们将把它记为X+Y。这时幺元对象是空集。再一次地，正如所有这些例子一样，结合律和左/右幺元律只满足到自然同构的程度。在这一幺半范畴中，态射f:X→Y与态射f´:X´→Y´的张量积是以下函数：
f+f´: X+X´→ Y+Y´
x ↦f(x) if x ∈ X,
f´(x) if x ∈ X´.
不过，在下文中，每当我们将Set作为幺半范畴来讨论时，我们始终使用笛卡尔积！
• 将Hilb做成幺半范畴的一个方法是使用希尔伯特空间通常的张量积：ℂn⨂ℂm≅ℂnm。在这一情形下幺元对象I可以选作1-维希尔伯特空间，例如ℂ。
还有一种将Hilb做成幺半范畴的方法，其中张量积是直和：ℂn⨁ℂm≅ℂn+m。这时幺元对象是零-维希尔伯特空间，{0}。
不过，在下文中，当我们将Hilb作为幺半范畴来讨论时，我们始终使用通常的张量积！
• nCob 的对象和态射的张量积都由无交并给出。例如，下面这两个态射的张量积：
是这样的：
• 范畴Tangk当k≥1时是幺半的，并且张量积由无交并给出。例如，给定下面两个缠结：
它们的张量积长得像这样：
带有笛卡尔积的Set的例子跟其他三个是截然不同的，因为集合的笛卡尔积X×X´伴随着“投影”到集合X和X´的函数：
我们的其他主要例子缺乏这一性质——尽管利用⨁做成幺半范畴的Hilb也有投影。此外，每一个集合拥有一个唯一的函数映射到单元素集合：
!X: X → I。
同样地，我们的其他主要例子缺乏这一性质，尽管利用⨁做成幺半范畴的Hilb也有它。量子力学的一个引人入胜的性质就是，我们将Hilb做成幺半范畴用的是⨂而非⊕，哪怕后一方案会导致一个更像Set的范畴。
我们可以把集合的笛卡尔积的特殊性质以及它的投影分离出来，获得适应于任何范畴的一个定义：
定义8 给定某个范畴中的两个对象X和X´，我们说配备了以下态射
的一个对象X×X´是X和X´的一个笛卡尔积（或者就叫积），如果对于任何对象Q以及态射
存在唯一的态射g:Q→X×X´使得以下图形对易：
（也就是说，f=pg，以及f´=p´g。）我们说一个范畴有二元积，如果每一对对象都有一个积。
积可能不存在，也可能不唯一，不过如果它存在的话，它在相差一个典范同构的意义上是唯一的。这证实了在其存在时我们说是对象X和Y的“积”，并且把它记成 X×Y。
笛卡尔积的定义，尽管绝对是基本的，第一眼看去有一点吓人。为了展示它的威力，让我们用它来做些事情：将两个态射f:X→Y与f´:X´→Y´组合成一个单一的态射：
f×f´: X×X´ → Y×Y´.
笛卡尔积的定义说明如何构造这类态射，基于一对态射：也就是，从X×X´到Y和Y´。如果我们把这些取为fp和f´p´，我们就得到了f×f´：
下面，让我们分离出单元素集合的特殊性质：
定义 9 范畴C中的一个对象1称为终端的，如果对任何对象Q∈C，存在唯一一个从Q到1的态射。我们把这一态射记为 !Q:Q→1。
再一次地，终端对象可能不存在，也可能不唯一，但它在相差一个典范同构的意义上是唯一的。这就是为什么我们说是一个范畴的“终端对象”，并且以一个特殊的符号，1，来表示它。
我们已经引入了二元积的概念。你也可以对其它n值讨论n-元积，因为我们可以将这些构建为迭代二元积。n=1的情形是平庸的，因为一个对象的积就是那个对象自身（相差一个典范同构）。余下的情形就是n=0。对象的0-元积，如果它存在的话，就是终端对象。因此，我们做出以下定义：
定义 10 一个范畴具有有限积，如果它拥有二元积和一个终端对象。
一个具有有限积的范畴总能做成一个幺半范畴，通过选择一个特定的积X×Y作为张量积 X⊗Y，并且选择一个特定的终端对象作为幺元对象。要说明这些可要花不少工夫！这种形式的幺半范畴被称为笛卡尔的。
在一个笛卡尔范畴中，我们能“复制和删除信息”。一般而言，笛卡尔积的定义给出了一种方式可以将两个态射f1:Q→X与f2:Q→Y组合成一个从Q到X×Y的单一态射。如果我们选取Q=X=Y并将f1 和 f2 选为恒同态射，我们得到对角或是复制态射：
ΔX:X → X × X。
在范畴Set中我们可以检验这将任何元素x∈X映射到对(x,x)。一般来说，我们可以把对角态射画成下面这样：
类似地，我们把到终端对象的唯一映射
!X: X → 1
称为删除态射，并画成下面这样：
注意我们把幺元对象省略掉了。
关于笛卡尔范畴的一个基本事实是，复制某样东西再删除掉其中一个副本等同于什么也不做！用弦图来表示，这说明：
我们将证明作为练习留给读者。
量子理论的许多令人费解的性质都源于Hilb 通常的张量积的非笛卡尔性。例如，在一个笛卡尔范畴中，每一个态射
实际上都是这种形式的
在Set 的情形，这说明集合X×X´的每一个点都来自X中的一个点和X´中的一个点。在物理上，这将表示组合系统X⊗X´的每一个态g都是将系统X和系统X´的态组合起来所构建的。贝尔定理说明在量子理论中这是不 对的。其原因就是，量子理论使用非笛卡尔幺半范畴Hilb！
此外，在量子理论中我们不能 自由地复制和删除信息。伍特斯和祖瑞克就这一效应证明了一个精确的定理，并聚焦在复制上：“不可克隆定理”。你也可以证明一个“不可删除定理”。再一次地，这些结果依赖于Hilb 的非笛卡尔张量积。
