物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（二）
约翰·贝兹， 迈克·斯徳
2009年3月2日
2. 物理与拓扑的类似性
2.1背景
目前我们最好的物理理论是广义相对论和粒子物理的标准模型。前者描述了引力，但没有把量子理论考虑在内；后者考虑了量子理论并描述了所有其他的力，但忽略了引力。因此，我们的世界观是极度分裂的。物理学家致力于解决这个问题的领域被称为量子引力，因为人们普遍认为其解答需要在处理引力的时候将量子理论考虑在内。
表2. 物理与拓扑之间的类似性
物理
希尔伯特空间（系统）
(n-1)-维流形（空间）
希尔伯特空间之间的算符（过程）
(n-1)-维流形之间的协边（时空）
算符的组合
协边的组合
恒同算符
恒同协边
没人确知如何做到这一点，但在两种主要的方案——弦论和圈量子引力——之间存在着引人注目的相似性。二者都依赖表2中列出的物理与拓扑之间的类似性。在左边一栏我们有量子理论的基本要素：范畴Hilb，其对象是希尔伯特空间，用来描述物理系统，而态射是线性算符，用来描述物理过程。在右边一栏中我们有微分拓扑的基本结构：范畴nCob。这里的对象是(n-1)-维流形，用来描述空间，而态射是n-维协边，用来描述时空。
我们将要看到，Hilb 和 nCob 具有很多共同的结构性质。此外，二者都迥异于更为人熟知的范畴Set，其中对象是集合，而态射是函数。在别的地方我们已经长篇累牍地论证过这一点对于更好地理解量子引力(Baez, 1999)以及量子理论的基础(Baez, 2004)来说是极为重要的。其想法是，既然 Hilb 更像 nCob 而不是 Set，也许我们应该放弃将量子过程视为从一个态集合到另一个态集合的函数。的确，或许我们应该将它看成类似于在低一维的空间之间演化的“时空”。
这一想法听起来很奇怪，但最简单的例子却是一种非常实用的，物理学家每天都在使用的东西：费曼图。这是在多个0-维点之间演化的一个1-维图，其中的边和顶点以某种方式标记。费曼图是拓扑实体，但却描述了线性算符。弦理论使用带有额外结构的2-维协边——弦世界面——来承担类似的任务。圈量子引力使用费曼图的2-维推广，即“自旋泡沫”。拓扑量子场论使用高维协边。在每种情形下，过程都是由一种特殊类型的范畴中的态射来描述的，这种特殊的范畴就是“紧对称幺半范畴”。
在下文中，我们不再详述量子理论或量子引力中的疑难。我们将转而采取一种不同的策略，简单地解释范畴论中的一些基本概念，并以 Set, Hilb, nCob 以及缠结的范畴为例。然而，一个循环往复的主题是，Set 与其它例子是截然不同的。
为了帮助读者在术语的海洋中安全地航行，下面的图表列出了我们在这一节中将要解释的概念（译注：这里将中英文两个表同时给出，供读者参考和对照。）
范畴 Set 是笛卡尔闭的，而 Hilb 与 nCob 是紧对称幺半的。
Bibliography
Baez, J. (1999). Higher-dimensional algebra and Planck-scale physics, arXiv:gr-qc/9902017. In C. Callender, & N. Huggett, Physics Meets Philosophy at the Planck Length. Cambridge: Cambridge University Press.
Baez, J. (2004). Quantum quandaries: A category-theoretic perspective, arXiv:quant-ph/0404040. In S. French, D. Rickles, & J. Saatsi, Structural Foundations of Quantum Gravity. Oxford: Oxford University Press.
