只要留守儿童的父母还在，他们的监护权都不会被改变，但如果父母因为工作生活等原因，他们是有权利将他们的孩子托管他人的，而受托管人就对被托管的孩子有监督、管教的责任，所以谁平时负责照看留守儿童的就填写谁的名字。
留守儿童是指外出务工连续三个月以上的农民托留在户籍所在地家乡，由父、母单方或其他亲属监护接受义务教育的适龄儿童少年。双亲留守儿童：父母双方都在外地打工，由其他亲属监护。单亲留守儿童：父母一方外出打工，由另一方监护或者其他亲属监护。
1、监护人不得虐待、遗弃留守儿童。监护人对留守儿童有抚养教育的义务，使其安全、健康地成长，并在德、智、体方面全面发展。
2、监护人必须使适龄留守儿童按照规定接受并完成规定年限的义务教育，不得使在校接受义务教育的留守儿童辍学。
3、监护人应当预防和制止留守儿童吸烟、酗酒、流浪以及聚赌、吸毒等行为。
5、监护人在留守儿童对国家、集体或他人造成损害时，有赔偿经济损失的义务。
6、监护人对留守儿童不履行监护职责或者侵害其合法权益的，应当依法承担责任。
8、监护人在留守儿童的合法权益受到侵害时，有权要求有关主管部门处理，或者依法向人民法院提起诉讼。
三、可以指定监护的情形有哪些?
假如出现监护人性侵害、出卖、遗弃、虐待、暴力伤害农村留守儿童导致其身心健康严重损害等6种情况，其近亲属、村(居)民委员会、县级民政部门等有关人员或者单位，要依法向人民法院申请撤销监护人资格，另行指定监护人。
1、监护人性侵害、出卖、遗弃、虐待、暴力伤害农村留守儿童导致其身心健康严重损害的;
2、将留守儿童置于无人监管和照看状态导致其面临危险且经教育不改的;
3、拒不履行监护职责六个月以上导致留守儿童流离失所或者生活无着的;
4、有吸毒、赌博、长期酗酒等恶习无法正确履行监护职责或者因服刑等原因无法履行监护职责，且拒绝将监护职责部分或者全部委托给他人，致使农村留守儿童处于困境或者危险状态的;
5、胁迫、诱骗、利用农村留守儿童乞讨，经公安机关和未成年人救助保护机构等部门三次以上批评教育拒不改正，严重影响农村留守儿童正常生活和学习的;
综上所述，现在农村出去打工的很多，导致留守儿童的大量出现。对留守儿童的监护，通常是父母委托给其它人，或者由直系亲属代替。监护人要负起责任，在平时生活中照顾好留守儿童，对其进行教育。当然，如果监护人存在虐待儿童的现象，可以取消其监护资格。如果留守儿童和其它人打架，留守儿童的监护人承担民事赔偿责任。
