第二法定继承人遗嘱中没有提起的话是没有继承权的，依据《继承法》规定的继承顺序和继承人继承遗产。继承开始后，有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理;没有遗嘱的，按照法定继承。法律规定遗嘱继承优先，体现了尊重遗嘱人(亦即财产所有人)意愿的原则。有下列情形之一的，遗产中的有关部分按照法定继承办理：
(四)遗嘱无效部分所涉及的遗产;
(五)遗嘱未处分的遗产。
在此补充遗产按照下列顺序继承：第一顺位：配偶、子女、父母。第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
二、遗嘱无效的九种情形：
(一)遗嘱人不具有完全行为能力
(四)基于财产处分上的原因而遗嘱无效
(五)遗嘱违反法律强制性抚养义务而导致无效
(九)遗产中的消极财产大于或等于积极财产，即债务清偿后无剩余财产，导致遗嘱无效。
遗嘱部分无效的情况下，并不影响遗嘱其他有效部分的生效，有效部分按照遗嘱规定的继承，无效部分按照法定继承处理。如果遗嘱全部无效，死者的遗产应按法定继承处理。
由此得知，如果立遗嘱人自己在遗嘱中把名下所有的合法遗产全部都留给了第二法定继承人的话，作为第一法定继承人也没有权利和第二法定继承人进行争夺。实际上就是我们在立遗嘱的时候，没有必要考虑法律上规定的继承顺序，想留给谁就可以留给谁。
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