复数的有关概念

　　教学目标
　　(1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
　　(2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;
　　(3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
　　(4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力.
　　教学建议
　　(一)教材分析
　　1、知识结构
　　本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念.
　　2、重点、难点分析
　　(1)正确复数的实部与虚部
　　对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注意在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。
　　说明:对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
　　(2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
　　分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:
　　注意分清复数分类中的界限:
　　①设 ,则 为实数
　　② 为虚数
　　③ 且 。
　　④ 为纯虚数 且
　　(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意:
　　①化为复数的标准形式
　　②实部、虚部中的字母为实数,即
　　(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:
　　①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.
　　②复数 用复平面内的点z( )表示.复平面内的点z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度.这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度.
　　③当 时,对任何 , 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当 时, 是实数.所以,纵轴去掉原点后称为虚轴.
　　由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.
　　④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写.要学生注意.
　　(5)关于共轭复数的概念
　　设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).
　　教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数.当 时, 与 互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行.
　　(6)复数能否比较大小
　　教材最后指出:＂两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小＂,要注意:
　　①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.
　　②命题中的＂不能比较它们的大小＂的确切含义是指:＂不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质＂:
　　(i)对于任意两个实数a, b来说,a<b, a=b, b<a这三种情形有且仅有一种成立;
　　(ii)如果a<b,b<c,那么a<c;
　　(iii)如果a<b,那么a+c<b+c;
　　(iv)如果a<b,c>0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)
　　(二)教法建议
　　1.要注意知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注意与平面解析几何的联系.
　　2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用＂形＂来解决＂数＂就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.
　　3.注意分层次的教学:教材中最后对于＂两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小＂没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答.
　　复数的有关概念
　　教学目标
　　1.了解复数的实部,虚部;
　　2.掌握复数相等的意义;
　　3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数.
　　教学重点
　　复数的概念,复数相等的充要条件.
　　教学难点
　　用复平面内的点表示复数m.
　　教学用具:直尺
　　课时安排:1课时
　　教学过程:
　　一、复习提问:
　　1.复数的定义。
　　2.虚数单位。
　　二、讲授新课
　　1.复数的实部和虚部:
　　复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
　　2.复数相等
　　如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。
　　即: 的充要条件是 且 。
　　例如: 的充要条件是 且 。
　　例1: 已知 其中 ,求x与y.
　　解:根据复数相等的意义,得方程组:
　　例2:m是什么实数时,复数 ,
　　(1) 是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数.
　　解:
　　(1)   时,z是实数,
　　,或 .
　　(2)   时,z是虚数,
　　,且
　　(3)   且 时,
　　z是纯虚数.
　　3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
　　复平面的定义
　　建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面.
　　复数 可用点 来表示.(如图)其中x轴叫实轴,y轴 除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上.
　　4.复数的几何意义:
　　复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.
　　5.共轭复数
　　(1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
　　(2)复数z的共轭复数用 表示.若 ,则: ;
　　(3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.
　　(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称.
　　三、练习 1,2,3,4.
　　四、小结:
　　1.在理解复数的有关概念时应注意:
　　(1)明确什么是复数的实部与虚部;
　　(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
　　(3)弄清复平面与复数的几何意义;
　　(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
　　2.复数集与复平面上的点注意事项:
　　(1)复数 中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写。
　　(2)复平面内的点z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。
　　(3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。
　　(4)复数集c和复平面内所有的点组成的集合一一对应:
　　五、作业 1,2,3,4,
　　六、板书设计:
　　§8,2 复数的有关概念
　　1定义: 例1 3定义: 4几何意义:
　　…… …… …… ……
　　2定义: 例2 5共轭复数:
　　…… …… …… ……