第一课时 垂直于弦的直径（一） 教学目标： (1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明； (2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； (3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱． 教学重点、难点： 重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力． 难点：垂径定理的证明． 教学学习活动设计： （一）实验活动，提出问题： 1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性. 2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题. 通过＂演示实验——观察——感性——理性＂引出垂径定理． （二）垂径定理及证明： 已知：在 O中，CD是直径，AB是弦，CD AB，垂足为E． 求证：AE=EB， =， =． 证明：连结OA、OB，则OA=OB．又 CD AB， 直线CD是等腰 OAB的对称轴，又是 O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合．因此，AE=BE， =， =．从而得到圆的一条重要性质． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 组织学生剖析垂径定理的条件和结论： CD为 O的直径，CD AB AE=EB， =， =. 为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混. （三）应用和训练 例1、如图，已知在 O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求 O的半径． 分析：要求 O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE AB于E，而AE EB AB=4cm．此时解Rt AOE即可． 解：连结OA，作OE AB于E． 则AE=EB． AB=8cm， AE=4cm． 又 OE=3cm， 在Rt AOE中， (cm)． O的半径为5 cm． 说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h 关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2 例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略） 说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成． 练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流． 指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距. （四）小节与反思 教师组织学生进行： 知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用． 方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． （五）作业 教材P84中11、12、13． 第二课时 垂直于弦的直径（二） 教学目标： （1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用； （2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进学生创造思维水平的发展和提高 （3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系． 教学重点、难点： 重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法． 难点：垂径定理的推论1． 学习活动设计： (一)分解定理（对定理的剖析） 1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧. 2、剖析： （教师指导） (二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导） ， ，……（包括原定理，一共有10种） (三)探究新问题，归纳新结论： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （4）圆的两条平行线所夹的弧相等. (四)巩固练习： 练习1、＂平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧＂这句话对吗?为什么? （在推论1（1）中，为什么要附加＂不是直径＂这一条件．） 练习2、按图填空：在 O中， （1）若MN AB，MN为直径，则________，________，________； （2）若AC BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________； （3）若MN AB，AC BC，则________，________，________； （4）若 =，MN为直径，则________，________，________． （此题目的：巩固定理和推论） （五）应用、反思 例、四等分 ． （A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成） 教材P80中的第3题图，是典型的错误作. 此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解．培养学生的思维能力． （六）小结： 知识：垂径定理的两个推论． 能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图． （七）作业：教材P84中14题． 第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用 教学目的： ⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题. ⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识. ⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想 教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用 教学难点：如何进行辅助线的添加 教学内容： (一)复习 1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：＂知2推3＂ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究） 涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h 关系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2 3．常添加的辅助线：（学生归纳） ⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形 4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据. (二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳） 例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)． 说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题． 例2、已知： O的半径为5 ，弦AB CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图） 解：分两种情况： （1）当弦AB、CD在圆心O的两侧 过点O作EF AB于E，连结OA、OC， 又 AB CD， EF CD．（作辅助线是难点，学生往往作OE AB，OF AB，就得EF=OE+OF，错误的结论） 由EF过圆心O，EF AB，AB =6，得AE=3， 在Rt OEA中，由勾股定理，得 ， 同理可得：OF=3 EF=OE+OF=4+3=7． （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧 同（1）的方法可得：OE=4，OF=3． ． 说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力． 例3、 已知：如图，AB是 O的弦，半径OC AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的长. 解：（略，过O作OE AE于E ，过B作BF OC于F ，连结OB.BC =） 说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系. （三）应用训练： P8l中1题． 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度． 学生分析，教师适当点拨． 分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决． （四）小结： 1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件. 2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用. (五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题． 探究活动 如图，直线MN与 O交于点A、B，CD是 O的直径，CE MN于E，DF MN于F，OH MN于H. （1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由. （2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.