下学期ampgtampgt4。3任意角的三角函数

　　任意角的三角函数
　　教学目标：
　　1 ．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．
　　2 ．掌握已知角    终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）
　　教学重点：
　　任意角的三角函数的定义．
　　教学难点：
　　任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．
　　教学用具：
　　直尺、圆规、投影仪．
　　教学步骤：
　　1 ．设置情境
　　角的范围已经推广，那么对任一角    是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．
　　2 ．探索研究
　　（ 1 ）复习回忆锐角三角函数
　　我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角    为自变量，以比值为函数值，定义了角    的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角    是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．
　　（ 2 ）任意角的三角函数定义
　　如图 1 ，设    是任意角，    的终边上任意一点    的坐标是    ，当角    在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为    ，则    ．
　　定义：①比值    叫做    的正弦，记作    ，即    ．
　　②比值    叫做    的余弦，记作    ，即    ．
　　图 1
　　③比值    叫做    的正切，记作    ，即    ．
　　同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件
　　提问：对于确定的角    ，这三个比值的大小和    点在角    的终边上的位置是否有关呢？
　　利用三角形相似的知识，可以得出对于角    ，这三个比值的大小与    点在角    的终边上的位置无关，只与角    的大小有关．
　　请同学们观察当    时，    的终边在    轴上，此时终边上任一点    的横坐标    都等于 0 ，所以    无意义，除此之外，对于确定的角    ，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．
　　④比值    叫做    的余切，记作    ，则    ．
　　⑤比值    叫做    的正割，记作    ，则    ．
　　⑥比值    叫做    的余割，记作    ，则    ．
　　可以看出：当    时，    的终边在    轴上，这时    的纵坐标    都等于 0 ，所以    与    的值不存在，当    时，    的值不存在，除此之外，对于确定的角    ，比值    ，    ，    分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．
　　（ 3 ）三角函数是以实数为自变量的函数
　　对于确定的角    ，如图 2 所示，    ，    ，    分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．
　　即：实数 角（其弧度数等于这个实数） 三角函数值（实数）
　　（ 4 ）三角函数的一种几何表示
　　利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图 3 ．
　　图 3
　　设任意角    的顶点在原点    ，始边与    轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点    ，过    作    轴的垂线，垂足为    ；过点    作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角    的终边（当    为第一、四象限时）或其反向延长线（当    为第二、三象限时）相交于    ，当角    的终边不在坐标轴上时，我们把    ，    都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
　　这几条与单位圆有关的有向线段    叫做角    的正弦线、余弦线、正切线．当角    的终边在    轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角    的终边在    轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
　　（ 5 ）例题讲评
　　【例 1 】已知角    的终边经过    ，求    的六个三角函数值（如图 4 ）．
　　解：
　　提问：若将    改为     ，如何求    的六个三角函数值呢？（分    ，    两种情形讨论）
　　【例 2 】求下列各角的六个三角函数值
　　（ 1 ）    ；（ 2 ）    ；（ 3 ）    ．
　　解：（ 1 ） 当    时，    ，
　　，    ，
　　不存在，    ，    不存在
　　（ 2 ） 当    时，    ，
　　，
　　不存在
　　不存在
　　（ 3 ）当    时，    ，
　　不存在      不存在
　　【例 3 】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（ 1 ）    ；（ 2 ）    ．
　　解：    ，    的正弦线，余弦线，正切线分别为    ．
　　【例 4 】求证：当    为锐角时，    ．
　　证明：如右图，作单位圆，当    时作出正弦线    和正切线    ，连
　　利用三角函数线还可以得出如下结论
　　的充要条件是    为第一象限角．
　　的充要条件是    为第三象限角．
　　练习（学生板演，利用投影仪）
　　（ 1 ）角    的终边在直线    上，求    的六个三角函数值．
　　（ 2 ）角    的终边经过点    ，求    ，    ，    ，    的值．
　　（ 3 ）说明    的理由．    ．
　　解答：
　　（ 1 ）先确定终边位置
　　①如    在第一象限，在其上任取一点    ，    ，则
　　，
　　②如    在第三象限，在终边上任取一点     ，则
　　，
　　（ 2 ）若    ，不妨令    ，则    在第二角限
　　（ 3 ）在    终边上任取一点    ，因为    与    终边相同，故    也为角    终边上一点，所以    成立．
　　说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角    的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．
　　3 ．反馈训练
　　（ 1 ）若角    终边上有一点    ，则下列函数值不存在的是（   ）．
　　A ．   B ．   C ．   D ．
　　（ 2 ）函数    的定义域是（   ）．
　　A ．  B ．
　　C ．   D ．
　　（ 3 ）若    ，    都有意义，则    ．
　　（ 4 ）若角    的终边过点    ，且    ，则    ．
　　参考答案：（ 1 ） D ；（ 2 ） B ；（ 3 ）    或 8 ，说明点    在半径为    的圆上；（ 4 ）－ 6 ．
　　4 ．本课小结
　　利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角    的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．
　　分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．
　　课时作业：
　　1 ．已知角    的终边经过下列各点，求角    的六个三角函数值．
　　（ 1 ）     （ 2 ）
　　2 ．计算
　　（ 1 ）
　　（ 2 ）
　　（ 3 ）
　　（ 4 ）
　　3 ．化简
　　（ 1 ）
　　（ 2 ）
　　（ 3 ）
　　（ 4 ）
　　参考答案：
　　1 ．（ 1 ）    ，    ，
　　，    ，
　　，
　　（ 2 ）    ，    ，
　　，    ，
　　，
　　2 ．（ 1 ）－ 2 ；（ 2 ） 8 ；（ 3 ）－ 1 ；（ 4 ）
　　3 ．（ 1 ） 0 ；（ 2 ）    ；（ 3 ）    ；（ 4 ）
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