人教版高一数学零点求法与方程及运用教案

　　零点求法与方程及运用
　　一、概念认识：零点是函数 的零点，但不是点，是满足 的＂ ＂。
　　二、策略优化：
　　①定义法 （ 与 轴交点），
　　②方程法 （解方程 ），
　　③构造函数法，
　　三、运用体验：
　　四、经典训练：
　　例1： 是 的零点，若 ，则 的值满足 .
　　【分析】函数 在 上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数是单调递增性，在 上这个函数的函数值小于零，即 。
　　【考点】函数的应用。
　　【点评】在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零。
　　练习：1.＂ ＂是＂函数 在区间 上存在零点 ＂的 ．充分非必 要条件
　　例2已知函数 有零点，则 的取值范围是___________．
　　练习：若函数 在r上有两个零点，则实数k的取值范围为_____________
　　练习：设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是 ．
　　练习：设函数 ，若函数 在 上恰有两个不同零点，则实数的 取值范围是 .
　　例3：若方程 的解为 ，则不小于 的最小整数是 ．5
　　例4：已知函数 ，在区间 上有最大值4，最小值1，设 ．
　　（ⅰ）求 的值；
　　（ⅲ）方程 有三个不同的实数解，求实数 的范围．
　　解:（ⅰ）(1) 当 时， 上为增函数
　　故
　　当 上为减函数
　　故
　　即 . .
　　（ⅲ）方程 化为
　　，
　　令 ， 则方程化为 （ ）
　　方程 有三个不同的实数解，
　　由 的图像知，
　　有两个根 、 ，
　　且 或 ，
　　记
　　则 或
　　练习：已知二次函数 ．
　　（1）若 ，试判断函数 零点个数；
　　(2) 若对 且 ， ，试证明 ，使 成立；
　　解：（1）
　　当 时 ，
　　函数 有一个零点；当 时， ，函数 有两个零点。
　　在 内必有一个实根。即 ，使 成立。
　　五、课外拓展：
　　1.已知函数 的零点依次为a，b，c，则 ．
　　a．a<b<cb．c<b<ac．a<c<bd．b<a<c
　　2.已知函数 .
　　3）记 .当 时，函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围.
　　解:(iii)依题得 ，则 .由 解得 ；由 解得 .
　　所以函数 在区间 为减函数，在区间 为增函数.
　　又因为函数 在区间 上有两个零点，所以
　　解得 .所以 的取值范围是 .
　　3.已知函数 = 当2 a 3 b 4时，函数 的零点 5
　　【解析】方程 =0的根为 ,即函数 的图象与函数 的交点横坐标为 ,且 ,结合图象,因为当 时, ,此时对应直线上 的点的横坐标 ;当 时, 对数函数 的图象上点的横坐标 ,直线 的图象上点的横坐标 ,故所求的 .
　　4.设函数
　　（ⅰ）略；（ⅱ）求函数的单调区间与极值；
　　（ⅲ）已知函数 有三个互不相同的零点0， ，且 .若对任意的 ， 恒成立，求m的取值范围.
　　解：（2） ，令 ，得到
　　因为 ，当x变化时， 的变化情况如下表：
　　+0-0+
　　极小值
　　极大值
　　在 和 内减函数，在 内增函数.
　　函数 在 处取得极大值 ，且 =
　　函数 在 处取得极小值 ，且 =
　　（3）解：由题设，
　　所以方程 =0由两个相异的实根 ，故 ，
　　且 ，解得
　　因为
　　若 ，而 ，不合题意
　　若 则对任意的 有
　　则 又 ，所以函数 在 的最小值为0，于是对任意的 ， 恒成立的充要条件是 ,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m的取值范围是
　　5.已知函数 , ,设 ,且函数 的零点均在区间 内,则 的最小值为   .
　　6.设函数 ， ．
　　（ⅲ）设 有两个 零点 ，且 成等差数列，试探究 值的符号．
　　解：（3） 的符号为正，理由为：因为 有两个零点 ，则有 ，两式相减，得
　　即
　　于是
　　当 时，令 ，则 ，
　　设 ，则
　　所以 在 上为单调增函数，而 ，所以 >0,
　　又因a>0, ,所以
　　同理，当 时，同理可得
　　综上所述 的符号为正。