----《倒数的认识》课堂教学实录与评析、反思 1．揭示课题 师：今天我们学习倒数的认识。(板书：倒数的认识)你们看了这个课题后，想知道什么？ 生1：倒数是什么东西？ 师：倒数不是什么东西，而应该是什么知识？(同学们轻轻地笑了) 生2：数怎样倒法？ 生3：是不是只有分数有倒数？ 师：也就是说，同学们想知道倒数的意义和有关方法。 教师板书：意义、方法。 师：倒数的意义和有关方法课本上都有，我们一看就知道了。重要的是我们在学习中要有自己的发现。我相信你们。 教师板书：发现(用另一种颜色的粉笔写)。 ［评析：一上课就揭示课题，开门见山，有利于在一节课的最佳时域直奔重点，突破难点。教师只有确立以学生为本的理念，充分了解学生的学习起点和学习疑难症结，把握学生跳动的脉搏，才能有针对性地下功夫。］ ［反思：课始直奔主题，一是可节省教学时间，把更多的时间让给学生去思考、去讨论。二是对本节课的旧知识学生几乎不存在什么计算上的问题。同时，由于是借班上课，我想降低课始的起点，使学生产生安全的心理，全身心投入学习。］ 2．初步理解倒数的意义 (1)自学课本。 师：请大家在课本上找到倒数的意义，读一读。 学生打开课本，寻找倒数的意义，用笔划词句。 (2)复述意义。 师：请同学们合上书，谁能说说什么是倒数？ 生1：乘积是1…… 师：看来只读一遍就要记住有一定的难度，谁再来说说？ 生2：乘积是1的两个数互为倒数。 教师板书：乘积是1的两个数---- 师：后面是什么，张老师忘了，谁来帮忙？ 生3：互为倒数。 教师接着板书：互为倒数。 ［评析：教师恰到好处地设置疑问，有利于学生层层深入地思考。同时，高明的教师有时假装糊涂，把＂聪明＂让给学生，＂张老师忘了，谁来帮忙？＂短短的话语满足了学生求知探新的成功欲，这是促进学生有效学习的基本策略。这也是张老师课堂教学的一大特点，在下面的教学中还有不少类似的对话。］ (3)初步剖析意义。 师：我们读的时候可以把这句话分成两部分，你认为该怎么读？ 生1：乘积是1的两个数／互为倒数。 生2：乘积是1的／两个数互为倒数。 师：这两种读法究竟哪一种读法好？同桌同学讨论一下，并说说你的想法。 生3：乘积是1的两个数／互为倒数。 师：为什么这样读？ 生3：这样读很顺。 师：你是怎样读的？ 生4：乘积是1的／两个数互为倒数。 师：同意这样读的同学请举手。看来，女同学都支持第一种，男同学都支持第二种。我也支持第二种的读法。 教师边说边板书：条件(在＂乘积是1＂的下面划上红线)、结论(在＂两个数互为倒数＂的下面划上红线)。 师：因为有了＂乘积是1＂的条件，才有＂两个数互为倒数＂的结论。 ［反思：对倒数概念的两种读法，事后细想，还是第一位学生的读法为好，因为＂乘积是1＂是＂两个数＂的定语，把它们隔开不好，另外，这句话是省略了＂它们＂两个字，完整的应是＂乘积是1的两个数，它们互为倒数＂，前面是条件，后面是结论。］ 3．深入探究倒数的意义 (1)示范举例。 师：现在老师写一个算式，大家看看是不是符合这句话的意义？ 教师板书：4/5 5/4=1。（生：符合） 师：那你有什么结论？ 生：4/5和5/4互为倒数。 教师板书：4/5和5/4互为倒数。 师：在条件前加两个字…… 教师板书：因为板书在4/5 5/4=1的前面。 师：有了因为，就有---- 学生齐声回答＂所以＂，教师板书：所以板书在4/5和5/4互为倒数的前面。 师：谁来把条件、结论完整地说一说？ 生：因为4/5 5/4=1，所以4/5和5/4互为倒数。 ［评析：常常发现六年级学生做作业写倒数时，用这样的形式表示＂2/3=3/2＂，误认为等号左边是已知条件的数据，等号右边是所求的结果数据。教师的示范表述在这里显得很有必要，这是规范学生表述的重要环节。］ (2)学生举例。 师：每个学生写一个这样的算式，然后让同桌的同学照样子说一说。(学生练习) 师：你是怎么写的，说说看？ 生：因为2/7 7/2=1，所以2/7和7/2互为倒数。 (3)深入剖析意义。 ①剖析＂互为＂的含义。(注：以下几个层次都是以学生为主提出讨论的，教师仅起到穿针引线的作用。小瓣题是在整理课堂实录后另外加上去的。) 师：我们现在对倒数的意义有了一定的理解，不过还不够深入。现在请大家再认真读一读、想一想，你能对这句话中的某个字或某个词理解得更深刻些，向大家解释得更清楚一些吗？ ［反思：对于概念的教学，我们的老师大多比较轻视，认为让学生读一二遍记住就达到目的了。其实，这都是表面现象，根本不能促使学生数学思维品质的提高。所以，让学生关注基础知识本身，这是我们数学课不能丢的根本，也是实现新课程提出的三维目标的关键，重要的是让学生在掌握概念的过程中，学会数学思考，体会解决问题所带来的成功体验。］ 过了几分钟，陆续有五六位学生举手。 师：已经有同学想来为大家解释了，暂时没有思考出结果的同学不要急，过一会儿在听别人发言的时候，你一定会有所发现的。现在谁来贡献自己的成果？ 生：＂互为＂就是分数的分子与分母是互质数。 师：是这样吗？我刚才看见有一位同学写了这样一个算式：4/6 6/4=1，分数中的4和6就不是互质数啊？但4/6与6/4是互为倒数，说明这位同学理解的＂互为＂不正确。不过这位同学能联想到以前的旧知识，这是一种学习的方法，你还记得什么叫互质数吗？ 生：公约数只有1的两个数是互质数。 教师板书：公约数只有1的两个数是互质数。 ［反思：学生提出＂互为＂就是＂互质数＂的意思，这是我始料不及的。既然这是学生的直观想法，那我们不能回避，所以我从另一个角度来＂表扬＂他，因为学生敢回答，就说明他在思考。另外，我们教师的提问，并不都是为了求得正确答案啊！不同的回答，甚至是错误的回答，我们处理好了，这就是教学中一种不可多得的资源。］ 师：谁对＂互为＂有不同的解释？ 生：＂互为＂是互相成为一个关系，互为倒数是指这两个数互相成为倒数关系。 师：你能根据具体的例子说一说吗？ 生：4/5是5/4的倒数，5/4是4/5的倒数。 教师板书：就是---- 师：哎呀！老师忘了，怎么说？ 生：4/5是5/4的倒数，5/4是4/5的倒数。 教师接着板书：4/5的倒数就是5/4，5/4的倒数就是4/5。 教师出示卡片：判断：2和1/2都是倒数。() 师：谁来判断一下这句话的正误，请说明理由。 生1：错了，1/2倒过来是2/1。 生2：对的，因为2可以化成2/1 师：刚才这两位同学争论的是这两个数的形式，请大家再想一想，判断一句话说得是否正确，应该怎样想？ 生3：应根据倒数的意义去判断。 师：说得好。判断一句话的正确与否，主要看实质，不能仅看表面形式。 生3：错了。不能说＂都是＂，应该说出谁是谁的倒数。 生4：错了，应该是2和1/2互为倒数。 ②剖析＂乘积是1＂的含义。 师：谁再来解释？ 生：我想为大家解释＂乘积是1＂，就是一个数乘一个数。 师：＂我想为大家解释＂，这位同学非常好，愿意把自己的智慧贡献出来与大家分享。 教师出示卡片：判断：因为1/3+2/3=1，所以1/3和2/3互为倒数。() 生：错了，因为不是乘积是1，而是和是1。 (4)探究求倒数的方法。 师：谁想再解释吗？ 生：我想解释4/5的倒数的分子就是4/5的分母，4/5的倒数的分母就是4/5的分子。 师：你的意思就是互为倒数的两个数，分子、分母的---- 生：分子、分母的位置对调一下。 教师板书：分子、分母调换位置。 师：你叫什么名字？(生齐说：陈潇雨)你真了不起，有了自己的发现。 教师板书：陈潇雨发现(板书在分子、分母调换位置的后面，用红色粉笔书写)。 教师板书： 师：你对老师画的两个箭头，有什么想法？ 生：5/4是4/5的倒数，但4/5也是5/4的倒数，所以不能只画两个箭头。 师：所以，还要---- 生：还要画两个箭头。 教师在原来的线上加了两个从右到左的箭头。 师：你叫什么名字？（生齐说：周宇明） 教师板书：周宇明发现(板书在有箭头式子的右边)。 ［反思：在原来的教学设计中，求倒数的方法是在后面的，但现在学生提出来了，我就把这个环节提上来了，并从中得到启发，再一次让学生体会＂互为＂的意思。其实我们只要相信学生，给他们信念，农村孩子的表现照样会令教师意想不到，这就是教学相长。］ (5)探索倒数的特例。 师：谁愿意把自己的智慧继续与大家一起分享？ 生1：我想解释＂两个数＂，就是两个因数。 师：哈！＂互为倒数＂被别人解释了，＂乘积是1＂也给别人解释了，只有这＂两个数＂了。这位同学的发言让大家的注意力集中在＂两个数＂了。谁有不同的想法？ 生2：这两个数是两个分数，不是分数的可以化成分数，是整数的或小数的都可以化成分数。 师：成倒数的两个数中，应该有几个整数？ 生3：两个整数，不！不对，应该是一个整数。 师：谁能举个例子？ 生4：4 1/4=1。 生5：12 1/12=1。 师：他刚才先说两个整数，有可能吗？ 生6：不可能，比如5 5=25。 师：(看见学生举手，想发表不同意见，于是指名回答)你说呢！ 生7：那1 1不是等于1吗？确实是两个整数啊。 (对方同学哑口无言，其他同学也很惊讶：哎！1 1是等于1。) 师：那你是什么意思？ 生7：乘积是1的两个数互为倒数(1除外)。 师：请大家找一找，课本上这句话的旁边有＂1除外＂吗？ (学生打开课本，没有这句话。) 师：1 1=1符合这句话吗？（生齐答：符合）那你有什么新的想法？ 生7：1的倒数是1。 师：你叫什么名字？（生：王晨） 教师板书：王晨发现(板书在＂1的倒数是1＂的右边)。 师：显然1是一个特殊的数，还有没有特殊的数？ 生齐答：0 生1：0除外。 师：课本上在倒数的意义中，为什么不加＂零除外＂呢？ 生2：因为0 0=0，所以0不能互为倒数。 生3：0乘任何数都是0，不可能得到乘积是1。 师：你有什么想法？ 生3：……(一时语塞) 师板书：(边板书边说：我板书两个字，你肯定说得出了)没有。 生3：0没有倒数。 教师：＂0没有倒数＂这个发现好，说明了并不是所有的数都有倒数。 师：这个结论也有张老师一半的智慧哦！(教师的幽默引来了学生善意的笑声)你叫什么名字？（生：池静宜） 这时，有学生提议：让池静宜来写。 师：你的字一定很漂亮，好吧，请！ 该学生上黑板板书：0没有倒数。池静宜突然停笔，面对老师问：＂老师，你的名字要写吗？＂(学生都笑了) 师：不要了。谢谢你！你写的字真漂亮，下了课，你能写幅书法作品给我吗？ 生：好的！(师生握手，生愉快地走下台。) ［评析：上面的几个环节，听课老师课后回味说：＂是一幕精彩的话剧，又如尝到了一道道鲜美的佳肴。＂为了深层次地剖析倒数的意义、方法与特例，确立以学生为主体，让学生主动探究，深入研究，教师因势利导地板书，恰到好处地表扬与鼓励。在这样的对话中，学生不仅受到数学的熏陶，而且更为重要的是情感态度价值观的确立，学会了终身受用的本领，即对一些概念的深层次的理解、内化及运用，深刻理解倒数概念的内涵与外延，同时培养了学生善于发现问题的能力。教师在与学生的心理沟通方面自然亲切，在落实建立新型的师生关系方面为我们作了示范。］ ［反思：对于两个特例＂1＂和＂0＂，本课没有专门由教师提出，而是在学生的深入思考中得出的，这就是学生学习的成果。当下面有学生提议让池静宜来写时，我顺水做了一个人情，因为屯村小学是以写字为教学特色的，多次被朱永新教授作为例子介绍。学生在与老师的对话中受到熏陶，有了情感的体验，真情地流露出：＂老师，要不要写上你的名字？＂同时，对于高年级学生来说，那种单一的语言上的表扬＂你真棒！＂＂不错！＂＂了不起！＂已激发不起学生的持续的学习激情，重要的是使学生感受到学习的乐趣与成功感。在我第二次去屯村小学听课时，正好碰到了池静宜同学，她不仅与我主动打招呼，还问我是否收到她的作品，我想这就是作为教师的幸福。］ 4．综合练习 (1)教师出示卡片①：判断并说出理由：0.25的倒数是4。() 生：对的。因为0.25 4=1，所以0.25的倒数是4。(下略) 教师出示卡片②：2/3 ()=1。 学生积极举手，想说答案。 师：老师知道大家都能很快说出答案，我想问的是，这道填空题是什么意思？ 生1：求2/3的倒数是多少。 生2：2/3的倒数是3/2。 教师出示卡片③：1 2/3=()。 师：这个算式又是什么意思？ 生1：求2/3的倒数是多少。 生2：2/3的倒数是3/2。 卡片④：7 ()=1。 生：7的倒数是1/7。 卡片⑤：1 7=()。 生：7的倒数是。 师：你能换句话说说吗？ 生：1/7是7的倒数，7和1/7互为倒数。 卡片⑥：1/9 ()=1。 生：1/9的倒数是9。 (2)教师出示卡片⑦：一个数与它的倒数的和是8(1/8)，这个数是()。 生：这个数是8。 ［反思：在这里由于自己的疏忽，学生回答了8后，没有让学生继续思考＂还有没有其他答案＂，而正因为倒数的＂互为＂关系，这题还有另一个答案1/8。教学真是一门遗憾的艺术。我们教师要尽量减少这种遗憾。］ (3)教师出示：填空：3 ()=6 ()=9 ()=1。 (学生说，教师写出答案。) 师：你有发现吗？ 生：整数的倒数就是分母为整数本身，分子为1的分数。 师：也就是说，整数的倒数是一个分数单位。 师：原来的3、6、9越来越--？ 生：越来越大！ 师：那它的----？ 生：它的倒数越来越小。 (4)教师出示：3/4 ()=2/5 ()=4/7 ()=1。 (学生说，教师写答案。然后教师擦去1。) 师：现在擦去＂1＂后，你认为有几种填法？ 生：还可以让它们的积等于2、3、……，所以有无数种填法。 师：但是根据倒数的意义来填是最容易考虑的，是吧？ (5)教师出示：填符号或数字。 ①8 2 8 1/2；②10 5 10 1/5； (学生说答案，教师写。) ③20 () 20 ()； 生：20 (5)=20 1/5。 生：20 (2)=20 1/2。 …… 5．总结延伸 出示卡片：7 2/3 7 3/2。 师：你猜一下，7 2/3 7 3/2能划等号吗？(生：能)那究竟为什么呢？我们下一节数学课再作研究，好吗？(生：好) 师：今天我们认识了倒数，同学们有很多发现。刚才有同学记起了公约数只有1的两个数是互质数，现在我们又知道乘积是1的两个数互为倒数，看来数学中有不少这样的规律，希望以后大家创造更多的发现。谢谢大家，下课。 ［反思：学习倒数，直接的作用是为学习下面分数除法打基础，所以在课尾作了这样的孕伏。同时对于教学中像＂公约数只有1的两个数是互质数＂＂乘积是1的两个数互为倒数＂这样的概念，是不是还有？自己心里也拿不准，深感自身数学知识的不足。］ 总评：建构主义理论认为，学生是以原来的经验来解释教材中的内容，建立起一个新的概念，这就是建构。建构是一个逐步渐进的过程，是一个探索与实践、纠偏再实践的循环过程。张老师深知建构在数学教学中的重要作用，在这节课中作了具体生动的诠释。确立以学生为主体的观念，让学生成为课堂的主角，成为发现知识的成功者，引导学生逐步深入探究、剖析倒数的意义和相关方法，并让学生发现其中的数学规律与奥秘，从而激发学生对数学的深层次的热爱。 师生互动全面发展是本课的一大特色。整节课基本上是由教师与学生对话，围绕文本互动的过程。教学的本质是一种沟通与合作。教师创设了与学生围绕＂倒数＂这个知识目标进行民主、平等、和谐、生动的对话交流的动态情景，在对话交流中，包含了知识信息和情感态度、行为规范等多方面的有机组合，促进了学生多方面素养提高。 数学活动是让学生经历一个数学化的过程，也就是让学生从自己的数学经验出发，经过自己的思考，概括或发现有关数学结论的过程，这是本课体现的第二大特色。特别是学生对倒数意义、方法的再创造的过程给听课教师留下了深刻的印象。 着力培养学生的数学思维是本节课的第三大特色。数学课要引导学生学会独立思考，善于发现数学奥秘，又有效地调动全体学生敢于发现，善于发现，敢于发表自己想法，学会反思、调控、修正自己的观点等优良品质。教师用板书学生姓名的特有方式既肯定了学生的发现，又达到表扬激励及榜样的作用，激起学生的思维一浪高过一浪，后浪推前浪的局面。 最后值得一提的是本课的板书。张老师进行了精心的设计：一是随教学的进程逐步出示，二是抓住概念的重难点，三是同时板书激励语，四是科学规范，给学生以启发。