任意角的三角函数 教学目标： 1 ．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值． 2 ．掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题） 教学重点： 任意角的三角函数的定义． 教学难点： 任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示． 教学用具： 直尺、圆规、投影仪． 教学步骤： 1 ．设置情境 角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题． 2 ．探索研究 （ 1 ）复习回忆锐角三角函数 我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示． （ 2 ）任意角的三角函数定义 如图 1 ，设 是任意角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为 ，则 ． 定义：①比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ． ②比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ． 图 1 ③比值 叫做 的正切，记作 ，即 ． 同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件 提问：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？ 利用三角形相似的知识，可以得出对于角 ，这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关，只与角 的大小有关． 请同学们观察当 时， 的终边在 轴上，此时终边上任一点 的横坐标 都等于 0 ，所以 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义． ④比值 叫做 的余切，记作 ，则 ． ⑤比值 叫做 的正割，记作 ，则 ． ⑥比值 叫做 的余割，记作 ，则 ． 可以看出：当 时， 的终边在 轴上，这时 的纵坐标 都等于 0 ，所以 与 的值不存在，当 时， 的值不存在，除此之外，对于确定的角 ，比值 ， ， 分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数． （ 3 ）三角函数是以实数为自变量的函数 对于确定的角 ，如图 2 所示， ， ， 分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数． 即：实数 角（其弧度数等于这个实数） 三角函数值（实数） （ 4 ）三角函数的一种几何表示 利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图 3 ． 图 3 设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角 的终边（当 为第一、四象限时）或其反向延长线（当 为第二、三象限时）相交于 ，当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ， 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有： 这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．当角 的终边在 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． （ 5 ）例题讲评 【例 1 】已知角 的终边经过 ，求 的六个三角函数值（如图 4 ）． 解： 提问：若将 改为 ，如何求 的六个三角函数值呢？（分 ， 两种情形讨论） 【例 2 】求下列各角的六个三角函数值 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） ． 解：（ 1 ） 当 时， ， ， ， 不存在， ， 不存在 （ 2 ） 当 时， ， ， 不存在 不存在 （ 3 ）当 时， ， 不存在 不存在 【例 3 】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（ 1 ） ；（ 2 ） ． 解： ， 的正弦线，余弦线，正切线分别为 ． 【例 4 】求证：当 为锐角时， ． 证明：如右图，作单位圆，当 时作出正弦线 和正切线 ，连 利用三角函数线还可以得出如下结论 的充要条件是 为第一象限角． 的充要条件是 为第三象限角． 练习（学生板演，利用投影仪） （ 1 ）角 的终边在直线 上，求 的六个三角函数值． （ 2 ）角 的终边经过点 ，求 ， ， ， 的值． （ 3 ）说明 的理由． ． 解答： （ 1 ）先确定终边位置 ①如 在第一象限，在其上任取一点 ， ，则 ， ②如 在第三象限，在终边上任取一点 ，则 ， （ 2 ）若 ，不妨令 ，则 在第二角限 （ 3 ）在 终边上任取一点 ，因为 与 终边相同，故 也为角 终边上一点，所以 成立． 说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角 的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值． 3 ．反馈训练 （ 1 ）若角 终边上有一点 ，则下列函数值不存在的是（ ）． A ． B ． C ． D ． （ 2 ）函数 的定义域是（ ）． A ． B ． C ． D ． （ 3 ）若 ， 都有意义，则 ． （ 4 ）若角 的终边过点 ，且 ，则 ． 参考答案：（ 1 ） D ；（ 2 ） B ；（ 3 ） 或 8 ，说明点 在半径为 的圆上；（ 4 ）－ 6 ． 4 ．本课小结 利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角 的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易． 分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴． 课时作业： 1 ．已知角 的终边经过下列各点，求角 的六个三角函数值． （ 1 ） （ 2 ） 2 ．计算 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 3 ．化简 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 参考答案： 1 ．（ 1 ） ， ， ， ， ， （ 2 ） ， ， ， ， ， 2 ．（ 1 ）－ 2 ；（ 2 ） 8 ；（ 3 ）－ 1 ；（ 4 ） 3 ．（ 1 ） 0 ；（ 2 ） ；（ 3 ） ；（ 4 ） 下学期>>4.3 任意角的三角函数