我们平时看到的地图，都是这样的?
在这张世界地图上，南极洲看上去很大一坨，似乎比俄罗斯还要大。但真实情况是，南极洲的面积是1400万平方公里，俄罗斯的面积是1700万平方公里。
我们看到的地图，其实是错误的，至少在一定程度上是错的。
我们目前采用的“横麦氏投影地图”其实是来自1569年一个地图制作者制作的，连Google Map都是采用这个样式。但其实，在这个地图里地球各个国家的大小都严重失真。
国外有个叫thetruesize.com的网站就把地图修正了，让我们看到了每个国家的真正大小。
目前地图版本的非洲，感觉好像就比中国的版图大一些。但事实上，非洲的面积比西欧，美国，阿根廷，印度，中国的面积总和还要大！是世界第二大洲。
如果把中国，美国和印度三个大国家放进非洲，是这样的??
格陵兰（80万平方英里）在现在的地图看起来跟非洲（1160万平方英里）差不多大，其实非洲面积是格陵兰的14倍。事实是格陵兰就跟非洲里一个国家差不多大。
格陵兰比印度小一点，可是两者出现在地图上却是这样的??
印度的大小就差不多是整个欧洲的大小，可想而知非洲比欧洲大多少！
澳大利亚覆盖了整个欧洲。
俄罗斯很大吧，可是拉到非洲的纬度上，就成了这样。
中国拉到俄罗斯的位置，瞬间惊呆了。
中国和加拿大。
中国和欧洲，完全覆盖绰绰有余。
中国和美国显示比例倒是挺接近的。
至于地图上比中国还大的格陵兰岛，事实却不忍直视。
面积是一个几何量，受到拓扑的约束
球面与平面是不同的，这个明眼人都可以看出来。从数学语言来说，这种不同叫做拓扑结构不同。拓扑结构是一种整体的结构。比如一个自行车内胎与一个篮球的拓扑是不同的，篮球面上任意封闭曲线可以连续缩小为一点，自行车内胎上则不可以；篮球的内部空间任意两点可以直线连接，自行车内胎则不可以。但一个篮球与一个长方体的电脑机箱的拓扑是相同的——你可以通过连续的变形把一个篮球的表面变成一个电脑机箱的表面。
内胎≠篮球 篮球＝电脑机箱
保形变换
我们都知道地球是一个球面，那么怎么才能把一个球面上的面积对应到平面上呢？比如中国地图在球面上看上去象一只公鸡，面积是960万平方公里。我们画在平面上，平面地图可以看上去依然象一个公鸡,这叫做保形变换，在数学上是可以实现的。
保面积变换
保面积变换，顾名思义，就是一种等积变换，比如夹在2条平行线之间的同底等高的三角形的面积是相等的，这就是保面积变换。
在微分几何里，当然要复杂一些，但思路是一样。
假设
是一个微分同胚映射，保面积变换保持曲面的面元。换句话说就是这个映射的拉回度量行列式的值等于初始度量行列式的值：
这个方程有无限多个解，也就是说保面积变换可以有很多了。比如我们把中国这个鸡形状可以变换为一只兔子的形状，保持面积不变，这是很容易做到的呢。所以在画地图的时候，一般不追求保面积变换。
