《杨辉算法》6卷是《田亩比类乘除捷法》、《通除通变本末》和《续古摘奇算法》3部著作的合称,中国古代重要数学著作。此三部著作成书后即刊刻,今不传。明洪武十一年(1378)古杭勤德书堂刊本即合称《杨辉算法》,亦失传。朝鲜李朝世宗十五年(1433)复刻洪武本。此本传回国内,明末毛晋抄本、清阮元抄本当依此。此本无《续古摘奇算法》卷上。道光年间郁松年嘱宋景昌校勘,刻入《宜稼堂丛书》。《丛书集成(初编)》本即依《宜稼堂丛书》本排印。
杨辉,字谦光,钱塘(今浙江省杭州市)人,数学家,宋元数学代表人物之一。生平不详,只知在今江浙一带作过管钱谷的地方官吏,为政清廉。南宋景定二年(1261)著《详解九章算法》12卷(今存半部多),三年(1262)著《日用算法》2卷,咸淳十年(1274)著《乘除通变本末》,德佑元年(1275)著《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷,保存了许多宝贵的宋朝数学史料,并在增乘开方法、垛积术、乘除捷算法、纵横图和数学教育等方面有贡献。
《乘除通变本末》3卷原称《乘除通变算宝》,在《续古摘奇算法》中改称此名。它由《算法通变本末》卷上、《乘除通变算宝》卷中、《法算取用本末》卷下构成。卷上首先提出“习算纲目”,是一个从九九表、乘除开始,直到《九章算术》各种方法的详尽数学教学计划,包括学习内容和重点、学习方法、时间安排,由浅入深,循序渐进,着重培养学生的计算能力,是为数学教育史上的重要文献。卷上还有垛积及重因、损乘等乘除捷算法。卷中是全书的中坚,故曾为全书书名,介绍了身外加减法,求一代乘除、九归等捷算法,包括若干口诀。卷下为阐发卷中而作,列出了1—300的加因代乘方法,为杨辉与史仲荣共同编集,史亦为钱塘人,生平不详。本书还保存了前人(已佚名)的《指南算法》、《应用算法》的部分资料。
《田亩比类乘除捷法》2卷,又称《田亩算法》。先是,北宋刘益(12世纪)撰《议古根源》,以直田演段,在中国数学史上首先引入负系数开方式,提出益积术、减从术解决这类开方式,实冠前古。杨辉认为它“作术逾远,罔究本源,非探赜索隐而莫能知之”,因此“择可作关键题问者,重为详悉著述,推广刘君垂训之意”,遂成是书。它采取法术统率应用问题的形式。卷上可视作《九章算术》方田章的继续,提出了直田、圆田、宛田、环田、圭田、梯田的各种情况的求积公式,将梯田三法的应用扩展到腰鼓田、鼓田、三广田、曲尺田等各种多边形田地的求积。杨辉认为直田法能致诸用,以其他问题进行比类。卷下首先批评了《五曹算经》三个错误题目。第1题指出方五斜七的近似计算只可“施于尺寸之间”,不可“用于百亩之外”;第2题指出已知方田之周,不分长方还是正方,而以正方求积是不妥的;第3题批评了《五曹算经》四不等田的求积法是错误的。卷下接着又引用了刘益《议古根源》的22个题目,是极为宝贵的史料。其中有刘益的形如-ax2+bx=c,与ax2-bx=c的二次开方式及其求正根的益积术、减从术。还有一个从圆田截一弧田求其弧矢的问题,归结为求-5x4+52x3+128x2=4096的正根,是中国数学史上第一次出现的任意系数的高次方程。杨辉给出这22个问题的图、草,并以其他应用对象的题目进行比类。其图、草对人们理解刘益的益积术、减从术很有裨益。
《续古摘奇算法》2卷。杨辉说在刊行《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩算法》后,在刘碧涧、丘虚谷所携诸家算法奇题基础上,添摭诸家奇题,续古法草,总为一集,遂成是书。今传本《杨辉算法》中只存卷下,《知不足斋丛书》刊印了2卷,是阮元从《永乐大典》辑录的。卷上有纵横图的造法。古人有河图、洛书之说。汉郑玄注《易纬·乾凿度》给出了九宫图,即三阶纵横图。宋儒开始以九宫图附会洛书或河图,给纵横图蒙上了神秘的外衣。此书给出了造3阶、4阶纵横图的一般程序,并给出了5-10阶的纵横图及各种非标准型纵横图。卷下是各种算术杂题及口诀,编排杂芜。值得注意的是海岛题解,概括出一个重要定理:斜解一长方形为二勾股形,“其一勾中容横,其一股中容直,二积之数皆同”。它在出入相补原理中特别有用,《九章算术》和刘徽实际上在使用,贾宪也作过概括,然以此最为完整。
