《象数一原》是清代数学家项名达研究三角函数的幂级数展开式的专著。项氏于道光二十三年(1843)即为该书写好了序言,但直到7年后他去世时为止还未能定稿,特嘱友人戴煦补写完成。该书曾由张南坪在苏州刻印,但未及刊行就遭战火焚毁。后来华衡芳从友人处得到书稿,适逢其表弟赵静涵欲刻《高斋汇刻》丛书,即将书稿付予赵氏,于光绪年间刊成。后来华衡芳又自刻一版,于光绪十四年(1888)告成。刘锋的《古今算学丛书》也收入此书,但无戴煦续写的最后一卷。李俨还提到一个元和江氏刊本及佚名抄本,后者今藏于北京图书馆。
项名达(1789-1850),原名万准,字步来,号梅侣,浙江仁和(今杭州)人。嘉庆二十一年(1816)举人,考授国子监学正。道光六年(1826)进士,授知县不就,此后曾任余杭苕南书院主讲,并在苏州紫阳书院任教,其间专心研究数学。先后著有《勾股六术》、《三角和较术》、《开诸乘方捷术》,后合刻成《下学庵算学》3种。项名达对前辈学者董祐诚《割圆连比例图解》中的方法有所领悟,于道光十七年(1837)先行撰成“图说”2卷。至道光二十六年(1846),项名达又以此为基础作图解,陆续成书6卷,后来戴煦补成1卷,这就是《象数一原》。
《象数一原》共7卷,其卷目为:卷1“整分起度弦矢率论”,卷2“半分起度弦矢率论”、卷3及卷4“零分起度弦矢率论”、卷5“诸术通诠”、卷6“诸术明变”、“卷7“椭圆求周图解”;其中卷4、卷6的一部分和卷7均为戴煦所补。
项名达认为董方立的方法正确地解释了弧矢关系的幂级数公式,他也特别欣赏后者用垛积公式沟通以分弧表示全弧的展开式各项系数的技巧,但他仍然存有以下三个疑问,这就是:1.垛积公式是否也适于以全弧表示分弧的展开式?2.可否将仅适于奇数情况的全弧展开式推广到对于偶数也成立? 3.正矢展开式中的系数是否也存在着与垛积公式相对应的关系?经过科学分析和逻辑推理,项名达在《象数一原》中逐一给出了肯定的回答。若以ai、hi分别表示i等分的弦与矢、r表示半径,则有
戴煦在卷七中正确地解释了这一公式。《象数一原》中也收入了项名达另一著作《开诸乘方捷术》中的主要成果,实际上已把二项展开式推广到有理指数幂的情形。
《象数一原》对清末数学家的无穷级数研究产生了一定影响。数学史家李俨说:“其后徐有壬、夏銮翔皆本项氏之法,其立法之根,实从廉法表递加之数悟得其理,与西法之二项例无异,惟当时二项之例,尚未译出,项氏深思而得之。”(《中算史论丛》,第三集)在西方,牛顿(Issac Newton)正是通过利用无穷级数的开方而发现二项式定理、其后又利用二项式定理建立起早期微积分学中的一些重要结果的;《象数一原》沟通了幂级数与传统垛积术之间的关系,其方法论上的意义值得研究者注意。
