数学著作。全书三卷,共有二十四门,二百八十八问。元代朱世杰撰。(撰者事迹参见“《算学启蒙》”条)
祖颐《四元玉鉴后序》称: “平阳(今山西临汾西南)蒋周撰《益古》,博陆李文一撰《照胆》,鹿泉石信道撰《钤经》,平水刘汝谐撰《如积释锁》,绛(今山西绛县)人元裕细草之,报人始知有天元也。平阳李德载因撰《两仪群英集臻》,兼有地元。霍山(今山西霍县)邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》,末仅有人元二问。吾友燕山朱汉卿先生,演数有年,探三才之赜,索《九章》之隐,按天、地、人、物立成四元”。以上所述之诸书如《益古》、《照胆》、《钤经》、《如积释锁》,虽然都已失传,根据一般说法猜测,可能都是天元术的著作;而《两仪群英集臻》可能是天元、地元二元术的著作;《乾坤括囊》可能有两问涉及天元、地元、人元的三元术。朱世杰在天元术、二元术、三元术的基础上,创立了四元术,从而撰成《四元玉鉴》一书。
《四元玉鉴》卷上之前,胪列有“五图”,其第一图即是”今古开方会要之图”,就中有“梯法七乘方图”和“古法七乘方图”;前者是“今”法开方的示意图,而后者则是“古”法开方示意图;前者所示意的是增乘开方法,后者则是传统开方法。第二图即是“四元自乘演段之图”,就中四元是指“勾三、股四、弦五、黄方二”,这里用图形表示四数和的平方展开式。第三图即是“五和自乘演段之图”,就中“五和”是指“勾股和、勾弦和、股弦和、弦较和、弦和和”,这里用图形表示五数和的平方展开式。第四图即是“五较自乘演段之图”,就中“五较”是指“勾股较、勾弦较、股弦较、弦和较、弦较较”,这里用图形表示五数和的平方展开式。第五图即是“四象细草假令之图”,这里并不是图表,而是列举四道典型例题,分别用一元方程组、二元方程组、三元方程组,以及四元方程组求解的问题。朱世杰分别称之为:“一气混元”、“两仪化元”、“三才运元”、“四象会元”。
若将四道例题表示以现代形式,则有:
“一气混元”:
开方式 X5-9X4-81X3+719X2-3888=0.
“两仪化元”:
今式 X3+2X2Y+2XY-XY2-2y2=0.云式 X3+2XY-XY2+2y2=0.
“三才运元”:
今式 -X-Y-Z+XYZ-XY2=0.云式 -X2+X-Y-Z+XZ=0.
三元之式 X2+Y2-Z2=0.
“四象会元”:
今式 X-2Y+Z=0.
云式 -X2+2X-XY2+4Y+XZ+4Z=0.三元之式 X2+Y2-Z2=0.
物元之式 2X+2Y-W=0.
这四道例题不但给《四元玉鉴》有关各问提供解题的步骤,而且对其算法也给予示范作用。可见卷前所列之“五图”,是全书必备的预备知识。至于四元术的表示方法,正如莫若说“其法以元气居中,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上”。其形式如下左图所示,下右图所示则为一多项式:
X2+2Y2+3Z2+4W2-5X-6Y-7Z-8W+20XZ-30XY+40YW-50XW+100.
《四元玉鉴》卷上六门七十一问。即1.直段求源(18问),2.混积问元(18问),3.端匹互隐(9问),4.廪粟回求(6问),5.商功修筑(7问),6.和分索隐(13问),卷中十门一百零三问,即1.如意混和(2问),2.方圆交错(9问),3.三率究圆(14问),4.明积演段(20问),5.勾股测望(8问),6.或问歌彖(12问),7.茭草形段(7问),8.箭积交参(7问),9.拨换截田(19问),10.如像招数(5问)。卷下八门一百一十问。即1.果垛叠藏(20问)。2.锁套吞容(19问),3.方程正负(8问),4.杂范类会(13问),5.两仪合辙(12问),6.左右逢元(21问),7.三才变通(11问),8.四象朝元(6问)。
书中所有问题,几乎都涉及方程或方程组的解法。涉及四元方程组者有七问,涉及三元者十三问,涉及二元者三十六问,涉及一元者二百三十二问。在解法中,最重要的工作是消去法,也就是由四元消去一元而成三元,而成二元,而成一元。由于朱世杰的叙述过于简略,后人对于“互隐通分相消”,“剔而消之”,或“消而剔之”的理解则各有千秋,如清代学人徐有壬说:“四元之妙,在相消”。陈棠说:“四元不难于求如积,而难于相消”。
《四元玉鉴》另一重点内容,就是垛积、招差术,也就是高阶等差级数求和的问题,在“茭草形段”、“如象招数”、“果垛叠藏”三门中,集中论述了高阶等差级数求和问题,不难发现,朱世杰是很熟悉下列公式的:
1+2+3+……+n=1/2×n (n+1),
1+3+6……+1/2×r(r+1)=
1/(2×3)×n (n+1)(n+2),
1+4+10+……+1/(2×3)×r(r+1)(r+2)=
1/(2×3×4)×n(n+1)(n-[-2)(n+3),
………。
在“如象招数”门最后一问注文为:
(今有官司)“依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵,今招一十五方,每人日支钱二百五十文,问兵及支钱各几何”。
依据朱世杰的叙述列表如下:
按术计算则得共招兵数为:
S=33+43+53+……+173=23400人。
不难看出,这就是朱世杰用以计算兵数的四次等间距内插法公式。即
关于垛积的问题,虽然是由北宋沈括开始创立的,但到朱世杰的时代,则大放异采,在《四元玉鉴》里,朱世杰提出许多新的垛积问题,同时还把招差问题也就是高阶等差级数提高到一个完善的境界。正如阮元说:“茭草形段、如象招数、果垛叠藏各问,为自来算书所未及”。在《四元玉鉴》里,由二元术、三元术、发展到四元术是中国传统数学一次高度的发展,而高阶等差级数求和问题更是遥遥领先于世界的伟大成果。
流传到现今的《四元玉鉴》,有清人沈钦裴《四元玉鉴细草》的两种道光初年抄本,这两种抄本均藏于北京图书馆;另有罗士琳《四元玉鉴细草》,出版于道光十四年(1834年),现有观我生室本,志古堂本,古今算学丛书本,测海山房本,万有文库本等。
