原名《周髀》。一卷。不著撰人名氏。约成书于汉天汉元年(前100年)前后。本书是一部主张盖天说的天文学著作,但由于盖天说“考验天状多所违失,故史官不用” (《后汉书·天文志注》引“蔡邕表志”),而《周髀》中的数学内容却为历代数学家所重视,三国时吴人赵爽曾详加注释,北周甄鸾再注,唐初经李淳风等人注释列为“十部算经”之一,成为国家指定的数学教科书,因篇幅大增而分为上下两卷,并更名为《周髀算经》。
在《周髀》成书的时代,人们对各种天文现象已有了广泛的观察,并测定了一些天文数据。《周髀》的作者力图利用数学工具来说明天文现象,将其联结成一个系统,从而建立起一个数学化的盖天宇宙模型。《周髀》认为,大地象例扣着的盘子,天空象盖在大地上的斗笠,大地的北极最高,四面低下,我们所居住的地方是在北极的南面,比北极要低六万里。天的曲度与地的曲度相同,日月众星都附着在天上,围绕着北极在地的上空旋转。由于太阳不但在恒星间作圆周运动,而且它与北极的距离也在作周年变化,从而有一年四季的变化。为了说明太阳的运动规律,书中设计了一张七衡图,即以北极为圆心的七个等距离同心圆,由内向外分别称为内一衡(内衡)、次二衡、……,次七衡(外衡),两圆之间的区域称为“间”,故共有七衡六间。内衡是夏至时太阳的轨道,外衡是冬至时的轨道,中间可依次类推,七衡六间恰好对应二十四节气的变化。为了解释昼夜的变化,书中假设只有在太阳距人们十六万七千里之内时人们才能见到太阳,此外则是黑夜。由于太阳周年在七衡六间上变化,它与人们之间的距离也在改变。于是有昼夜长短的变化与日出月落方位的改变,在这样的宇宙模型中,《周髀》计算了太阳到地面的垂直距离与到观测地点的距离。太阳的直径,描述了太阳与月亮的运动规律、二十四节气,以及四分历的各种数据计算。
《周髀》中的数学内容主要有:
1.分数运算
由于天文计算的需要,书中不但涉及各种整数运算,还出现了大量的分数四则运算,有的较为复杂,例如,在计算小岁、大岁“月不及故舍”时有
2. 等差数列
在七衡图中,已知内衡直径D1=238000里,相邻两衡间距离d=19833 1/3里,记第n衡直径为Dn,周长为Cn,《周髀》给出的计算次二衡,次三衡,……,次七衡直径,周长的方法相当于
其中n=2.3.4.5.6.7.这是分别以D1及C1为首项,2d及2πd为公差的两个等差数列。
书中给出了一张二十四节气正午时八尺标杆的影长表,由冬至到夏至为一13项的递减等差数列,由夏至到冬至为一13项的递增等差数列,公差均为99 1/6分,并分别给出了计算通项及公差的方法,例如,在前一数列中,记第n项为an,公差为d,则书中给出:
3.勾股定理与勾股测量
《周髀》卷上记载荣方与陈子的对话:“陈子曰:……若求邪至日者,以日下为勾,日高为股。勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日。”相当于
为勾股定理的一般形式。
规(圆规)、矩(直角曲尺)、准(水准仪)、绳(悬线)是中国古代最基本的测量工具,其中规、矩又是绘图工具。《周髀》卷上记载周公与商高的对话,总结了用矩之道:“商高曰:平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方。”即,用矩可以检验地面与悬线是否垂直;利用相似勾股形的性质能够测量可望而不可即的高深广远;旋转矩可以画圆;两矩拼合即为方形。书中应用相似勾股形性质推求了太阳的直径。
弦图
三国时,吴人赵爽为《周髀》作注,在其“勾股圆方图注”中,利用弦图给出了勾股定理的严格证明,并导出了一元二次方程的求根公式及许多勾股恒等式。他又补绘了“日高图”与“七衡图”,并加注释,在“日高图注”中为重差术奠定了理论基础。北周甄鸾的注质量不高,李淳风等人的注在天文学方面有较高水平,后世《周髀》传本均包括这三种注释。
《周髀算经》传本颇多,较重要的有:
一、南宋嘉定六年(1213年)鲍澣之刻本,据北宋元丰七年(1084年)秘书省本《算经十书》翻刻,半叶九行十八字,写刻俱佳,末有北宋李籍撰《周髀算经音义》及鲍澣之跋。此版本到明末仅存一部,清康熙中为常熟汲古阁主人毛扆所得,今存上海图书馆,一九八○年由文物出版社影印出版。毛氏又影抄一副本,今存故宫博物院,一九三一年据此影印,收入《天禄琳琅丛书》。
二、明赵开美校本,万历中汇入胡震亨《秘册汇函》,此后,毛氏汲古阁《津逮秘书》本、清代《古今图书集成》本、《学津讨原》本、近代商务印书馆《四部丛刊》本、中华书局《四部备要》本均以赵校本为蓝本。
三、清戴震校本,据影抄南宋本及《永乐大典》本校勘,收入《四库全书》,此后,武英殿聚珍版本和曲阜孔氏微波榭《算经十书》本均以此为蓝本,又从而衍生出大量翻刻本,如商务印书馆《万有文库》本、《丛书集成》本。
四、钱宝琮校点《算经十书》本,一九六三年由中华书局出版,参照诸家传本详加校勘,重绘插图,并作有提要。
