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孙氏数学基本定理之权值定理的内容及其应用

权值定理是指通过直接比较最高位权(数制中每一固定位置对应的单位数值)上数的数值大小来确定两数大小的数学理论(孙氏定义,与加权平均数中的权值定义有所不同),该理论有三条核心理论,分别为同位权上数值大的数大于数值小的数、高位权上的数大于低位权的数和只有在满足进位的条件下,低位权上的数才能加权跳跃到高位权上(同数制下正有理数范围内,可扩展至实数范围)。下面,就让我们一起来学习权值定理吧!

权值对于学过数制的人来说是很好理解的,而对于没有接触过数制的人来说却是一个相对陌生的概念,为了更好的解释权值与权值定理,我先从大家熟悉的数位开始说起。在学习认识数的时候,我们都学习了数位(不同计数单位,按照一定的顺序排列,它们所占位置叫做数位),知道了数位从右往左是越来越大的,处在不同数位上的数代表的数值大小也是不同的,一个数要想从低数位跃到高数位,是必须满足进位要求的(不同数制下的要求是不同的,十进制下是满十),在不满足要求的情况下是不可能发生越位现象的。如百位上的1与十位上的1所代表的数值是不同的,百位上的1代表的数值是100,十位上的1代表的数值位10,100是大于10的,十位上的1要想跑到百位上,则必须要先满10。

位权与数位虽然有所差异,但本质上是相同的,这一点从概念上就可以看出来。因此对于权值的理解,就可以参照对数位的理解了。这样一来,权值理解起来是不是不在那么难了?我们类比一下,位权就相当于数位,高位权就相当于靠左的数位,低位权就相当于靠右的数位,由低位权跃到高位权上就相当于由低数位跑到高数位上了。经过类比后,再来看核心三理论是不是很容易理解了?

那么,学了权值定理后有什么应用呢?为什么要提出权值定理呢?要说权值定理的应用,就不得不说1与0.9循环的关系,毕竟权值定理就是为了解决无限循环与有理数的关系而提出来的。下面我们就用权值定理来证明1是大于0.9循环的。定理一,同位权上数值大的数大于数值小的数。十进制数1和0同处位权10的零次方上,1大于0,定理二,高位权上的数大于低位权上的数,在0.9循环中次高位权上的9处在位权10的-1次方上,大于其他任意位权上的9。定理三,只有在满足进位的条件下,低位权上的数才能加权跃位到高位权上(同数制下正有理数范围内,可扩展至实数范围)。处于位权10的-1次方上的9要想加权跃到位权10的0次方上变成1,则必须满10,由于不满10,所以没有发生跃位现象(从位权10的-1次方上的9到位权10的负无限次方上的9都没有发生跃位现象)。综上所述,1大于0.9的循环。

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