第一部分 考研真题精选
一、计算题
1某企业的生产需要使用两种要素，其生产技术为f（x1，x2）＝（min{x1，2x2}α），其中x1和x2为两种要素的使用量。企业可以同时调整两种要素的投入量。假定产品的市场价格外生给定为p，且w1和w2表示外生给定的两种要素的价格。请回答：
（2）为使得本题的解有意义，你需要对参数α施加何种限制？（中国人民大学2019研）
解：（1）由该厂商的生产函数f（x1，x2）＝（min{x1，2x2}α）可知其要素使用原则为x1＝2x2，则其产量Q＝f（x1，x2）＝x1α＝（2x2）α，其利润函数为：
π＝pQ－w1x1－w2x2＝px1α－w1x1－w2x1/2
其一阶条件为：dπ/dx1＝αpx1α－1－w1－w2/2＝0；
解得：
故该厂商的要素需求函数为：
利润函数为：
（2）为使得本题的解有意义，参数α需满足以下条件：
①要素使用量x1≥0，要素使用量x2≥0，则α＞0。
②要素需求是自身价格的减函数，即：
则α＜1。
③利润函数是产品价格的增函数，即：∂π/∂p＞0，易得当α＜1时，∂π/∂p＞0恒成立。
综上所示，需要对参数α施加的限制为0＜α＜1。
2在一个纯交换的经济中有两个人，消费者A和消费者B，市场上有两种商品，即面包x1和牛奶x2。两个人的初始禀赋为WA＝（2，5），WB＝（10，15），他们的效用函数分别为uA（x1，x2）＝x10.6x20.4，uB（x1，x2）＝x1＋lnx2。假设消费者对两种商品的消费都严格大于零。
（1）求解消费者的契约曲线。
（2）求解一般均衡时的价格与资源分配状况（提示：可把一种商品的价格标准化为1）。
（3）假设P1＝P2＝1，求出两人对两种商品的需求和两种商品的过剩需求，此时市场出清吗？哪种商品的相对价格偏贵了？（上海财经大学2018研）
解：为简便符号，设面包为x，牛奶为y，则消费者A和消费者B的效用函数分别为：
uA（x，y）＝xA0.6yA0.4
uB（x，y）＝xB＋lnyB
（1）由题意知，消费者A和消费者B面临预算约束：xA＋xB＝2＋10；yA＋yB＝5＋15。
消费者的契约曲线，又称交换的契约曲线，指的是埃奇沃思盒中，不同消费者的无差异曲线切点的轨迹。在本题中，消费者的契约曲线表示两种产品在两个消费者之间的所有最优分配（即帕累托最优状态）的集合，需满足的条件为：MRSxyA＝MRSxyB，即MUxA/MUyA＝MUxB/MUyB，即0.6xA－0.4yA0.4/（0.4xA0.6yA－0.6）＝1/（1/yB），解得：yB＝3yA/（2xA）。
则消费者契约曲线为：xA＝3yA/[2（20－yA）]（0≤xA≤12，0≤yA≤20）。
（2）假设面包价格为1，即px＝1，牛奶价格为p，即py＝p。
消费者A的效用最大化条件为：MUxA/MUyA＝px/py，即3yA/（2xA）＝1/p①
消费者A的预算约束为：pxxA＋pyyA＝2px＋5py，即xA＋pyA＝2＋5p②
联立①②可得消费者A的消费选择：xA＝3（2＋5p）/5，yA＝2（2＋5p）/（5p）。
消费者B的效用最大化条件为：MUxB/MUyB＝px/py，即yB＝1/p③
消费者B的预算约束为：pxxB＋pyyB＝10px＋15py，即xB＋pyB＝10＋15p④
联立③④可得消费者B的消费选择：xB＝9＋15p，yB＝1/p。
联立yA＝2（2＋5p）/（5p），yB＝1/p和yA＋yB＝5＋15，解得p＝0.1。
则px/py＝10，xA＝1.5，yA＝10，xB＝10.5，yB＝10。
即一般均衡时，面包价格是牛奶的10倍，消费者A消费1.5单位面包，10单位牛奶，消费者B消费10.5单位面包，10单位牛奶。
（3）由题意知，面包和牛奶价格均为1，即p＝1。
则由（2）可知，消费者A的消费选择：xA＝3（2＋5p）/5＝4.2，yA＝2（2＋5p）/（5p）＝2.8；
消费者B的消费选择：xB＝9＋15p＝24，yB＝1/p＝1。
又因为消费者A和消费者B面临预算约束：xA＋xB＝2＋10，yA＋yB＝5＋15，所以两人对面包的过剩需求为4.2＋24－（2＋10）＝16.2，对牛奶的过剩需求为2.8＋1－（5＋15）＝－16.2，此时市场不出清，牛奶的相对价格偏贵了。
3考虑某机场和其附近房地产建造商的问题，机场附近的航班会对居住造成一定程度的不利影响，房地产建造商的利润函数为πE＝42y－y2－xy，飞机场的利润函数为πA＝36x－x2，x为机场每天起飞的飞机数，y为房地产商建造的房屋量。
（1）求各自利润最大化时的x，y；
（2）现在房地产建造商购买飞机场，求此时利润最大化时的x，y；
（3）建造商和飞机场各自经营，但飞机场给房地产建造商xy补贴，求达到社会最优量时的补贴xy。（上海财经大学2013研）
解：（1）单独经营时，飞机场利润最大化的一阶条件为：dπA/dx＝36－2x＝0，解得：x＝18。
此时房地产制造商的利润函数为：
πE＝42y－y2－xy＝42y－y2－18y＝24y－y2
