第一篇 引言
第1章 经济模型
本章没有课后习题。本章是全书的一个引言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
第2章 微观经济学中的数学工具
1．已知U（x，y）＝4x2＋3y2。
（1）计算
。
（2）当x＝1，y＝2时，求这两个偏导数的值。
（3）写出U的全微分。
（4）当dU＝0，计算dy/dx，即保持U不变，y和x的替代关系如何？
（5）说明当x＝1，y＝2时，U＝16。
（6）当x＝1，y＝2时，x，y要以怎样的比例微小变化才能保持U＝16不变？
（7）U＝16的等高线是什么图形？它各点的斜率是多少？
解：（1）对于函数U（x，y）＝4x2＋3y2，其关于x和y的偏导数分别为：
（2）当x＝1，y＝2时，（1）中的偏导数值分别为：
（3）U的全微分为：
（4）当dU＝0时，由（3）可知：8xdx＋6ydy＝0
从而可以解得：
（5）将x＝1，y＝2代入U的表达式，可得：U＝4×1＋3×4＝16。
（6）由（4）可得，在x＝1，y＝2处，当保持U＝16不变，即dU＝0时，有：
（7）当U＝16时，该函数变为4x2＋3y2＝16，因而该等高线是一个以原点为中心的椭圆。由（4）可知，该等高线在（x，y）处的斜率为：
2．假设某企业的总收入只由产量决定，且关系式为R＝70q－q2，总成本也只由q决定，C＝q2＋30q＋100。
（1）要使利润（R－C）最大化，产量定为多少？最大利润是多少？
（2）说明（1）问题的答案满足极值的二阶条件。
解：（1）公司的利润函数为：π＝R－C＝－2q2＋40q－100
利润最大化的一阶条件为：
从而可以解得利润最大化时的产量为：q*＝10
相应的最大化的利润为：π*＝－2×102＋40×10－100＝100
（2）在q*＝10处，利润最大化的二阶条件为：
因而满足利润最大化的二阶条件。
（3）在q*＝10处，边际收益为：
边际成本为：
因而有MR＝MC＝50，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
3．设f（x，y）＝xy，在x＋y＝1的约束条件下分别用代入消元法和拉格朗日乘数法求最大值。
解：（1）代入消元法
由x＋y＝1可得：y＝1－x，将其代入f可得：f＝xy＝x－x2，
从而有：
可以解得：x＝0.5，y＝0.5，f＝0.25。
（2）拉格朗日乘数法
构造拉格朗日函数：L＝xy＋λ（1－x－y）
一阶条件为：
从而可以解得：x＝y＝0.5，f＝xy＝0.25。
