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如何解二次方程

在本文中:因式分解法用二次公式配方法参考

二次方程就是含有最高为二次的项的方程。有三种方法可以解这类方程:因式分解法、二次公式法、或者配方法。下面介绍这三种方法。

方法

1:因式分解

1:把所有同类项合并,移到等式一边。首先要把所有同类项合并,并让x2 保持为正数。要合并,只要加减x2 项、x项和常数项,移到等号一边。一边没有东西了以后,就写0就可以了。以下是方法:

2x2 - 8x - 4 = 3x - x2 =

2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0

3x2 - 11x -4 = 0

2:因式分解表达式。要因式分解,要利用x2 项 (3)的因数、常数项(-4)的因数,相乘后加起来等于中间项数(-11)。按以下步骤做:

因为 3x2 只有一组可能的因数,即 3x 、 x ,写入括号得(3x +/- ? )(x +/- ?) = 0

然后分解4,找出一个组合以相乘得到 -11x 。可以用4和1组合,或者2和2组合。要记得其中一项是负数,因为常数项是-4

试试(3x +1)(x -4) 乘后得到 - 3x2 -12x +x -4。合并-12x 和 x,得到-11x , 就是目标的中间项。这样因式分解了一个二次方程。

作为例子,我们试试另外一种行不通的解: (3x -2)(x +2) = 3x2 +6x -2x -4 ,合并后得到3x2 -4x -4。虽然-2 和 2 乘起来是-4 ,中间项还是不对,因为要得到-11x,不是 -4x

3:让所有括号项等于0,作为分开的等式。这就是说,让3x +1 = 0 、 x - 4 = 0。这样就可以让你找出两个x解,来确保整个等式等于0。因式分解了以后,只要让括号分别等于0就好。但为什么呢?因为要通过乘法来得到0,根据数学原理有一个因子就必须为0,所以至少有一个括号中的结果要等于0;因此,(3x + 1)或(x - 4)必须等于0。所以,你既可以写成

{\displaystyle 3x+1=0}

,也可以写成

{\displaystyle x-4=0}

4:分开解每个方程。在二次方程式中,有两个x的解,只要独立解出每个解就可以了。

求解 3x + 1 = 0

3x = -1 ..... 减法

3x/3 = -1/3 ..... 除法

x = -1/3 ..... 简化

Solve x - 4 = 0

x = 4 ..... 减法

x = (-1/3, 4) ..... 得出多种可能的解法,即x = -1/3,或者x = 4,答案都一样。

5:在(3x + 1)(x – 4) = 0中验算x = -1/3:

我们来算一算 (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 .....代入 (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 .....简化 (0)(-4 1/3) = 0 .....乘法,得出0 = 0 .....没错,x = -1/3

6:在(3x + 1)(x - 4) = 0中验算x = 4:

我们来算一算(3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 .....代入 (13)(4 – 4) ?=? 0 .....简化 (13)(0) = 0 .....乘法 0 = 0 ..... 没错,x = 4同样是正确的

所以,两种解法经过单独“验算”,都得出了正确的结果。

方法

2:用二次公式

1:合并所有同类项,移到等号一边。像上面步骤一样,移到一边去,保持x2是正数,按次数大小排列,x2最前,x中间,常数项最后:

4x2 - 5x - 13 = x2 -5

4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0

3x2 - 5x - 8 = 0

2:写下二次公式 :{-b +/-√ (b2 - 4ac)}/2a

3:找出a、b、c的值。这里a就是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。3x2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, c = -8。记下来。

4:把已知的a、b、c代入公式,按以下步骤来做:

{-b +/-√ (b2 - 4ac)}/2

{-(-5) +/-√ ((-5) 2 - 4(3)(-8))}/2(3) =

{-(-5) +/-√ ((-5) 2 - (-96))}/2(3)

5:算出解。替代公式中a、b、c以后,计算出各个解。如下:

{-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =

{5 +/-√(25 + 96)}/6

{5 +/-√(121)}/6

6:简化根式。如果根号内是完全平方数,就会得到整数,但如果不是,就将其简化为最简形式。如果是负数,则解是复数。这里 √(121) = 11。 于是x = (5 +/- 11)/6。

7:把正数解和负数解解出来。消除根号以后,就会发现有两根,一根正一根负。即(5 +/- 11)/6,得到两根:

(5 + 11)/6

(5 - 11)/6

8:解出两根:

(5 + 11)/6 = 16/6

(5-11)/6 = -6/6

9:简化解。只要上下同除以最大公因数,化简分式就可以。把第一个解除以2,第二个除以6,得到解。

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

方法

3:配方法

1:把所有同类项合并到等号一边。注意a 或 x2 系数是正数。按下列步骤做:

2x2 - 9 = 12x =

2x2 - 12x - 9 = 0

等式中,a 是2,b是-12 , c 是-9

2:把c 或常数移到等号另一边。常数项就是不含有变量的项。移到等号右边。

2x2 - 12x - 9 = 0

2x2 - 12x = 9

3:两边同时除以 a ,即x2 系数。 若x2 没有系数,或者说只有系数1,则跳过此步骤。 本例子中要把所有项除以2:

2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =

x2 - 6x = 9/2

4:再把 b除以2,得出它的平方,然后两边同时加上这个平方数。 这里b是-6,如下处理:

-6/2 = -3 =

(-3)2 = 9 =

x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9

5:两边同时化简。左边得到(x-3)(x-3)或 (x-3) 2,在右边加上了数得到9/2 + 9 或 9/2 + 18/2,得到27/2

6:找出两边的平方根。(x-3) 2 平方根就是(x-3)。27/2 的平方根是±√(27/2)。 由此 x - 3 = ±√(27/2)

7:简化根号,解出x。要简化±√(27/2),就要找出2或27中的完全平方数因数。9 是 27的一个完全平方数因数,9 x 3 = 27。 要把9提出来,在根号外写出9的平方根3,根号内留下不能分解的3,还有分母的2,然后把等号左侧的3移过来,解出两个x解:

x = 3 +(√6)/2

x = 3 - (√6)/2)

小提示

可以发现根号不能完全消掉。因此分子部分不能合并(因为不是同类数字)。因此把加号减号分开没太多意义。我们要把任何常数项和根号外系数的因数提出来化简。

根号下不是完全平方数,则最后几步有点不同。

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