类型1:圆割(切)线产生的相似图形
如图,AD和AE与圆O相交,则有:△ABC∽△ADE。如果把图形剥离出来,就是我们常见的A型相似。
【简证】∠A=∠A,∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DEA=180°,故用AA易证相似。
【变化】将AD绕点A旋转,使得BC∥DE,便得到平行线A型相似图形(自己动手操作)。
现在,我们把AE绕点A顺时针旋转,旋转至AE与圆O相切的位置,记切点为B,此时,相当于点B与点E重合于点B,有:△ABC∽△ABD,此图为切割线定理的基本图形,如下图;若把圆去掉,变得到了“母子型”相似。
【简证一】有∠A=∠A,且AB与圆O相切,故考虑AA证相似。过点B连直径BE,连接CE。根据切线的性质和圆周角定理,易证∠CBA=∠BAD,从而可证△ABC∽△ABD,如下图:
【简证二】有∠A=∠A,且AB与圆O相切,故考虑AA证相似。连OB,过O作OE⊥BC于点E,根据圆周角定理、垂径定理、切线的性质,易证∠CBA=∠BOE=∠BAD,从而可证△ABC∽△ABD,如下图:
【总结内化】这两个证法,如何快速想到呢?AB是切线,连半径得直角,这是一个重要的信息突破口。多数试题的突破口,都是依托基本知识点进行设计的,所以,要想考的好,基础是第一位的。
类型二:相交弦产生的相似图形
如图,弦AB、CD相较于点E,则有:△AEC∽△DEB,△AED∽△CEB。若把圆去掉,变得到8字相似模型,如下图:
【简证】根据圆周角定理,易得∠A=∠D,∠C=∠B,△AED∽△CEB。
【变化】若是把弦AC、BD调整为平行的两条弦,便得到平行线8字模型。
这个基本图形,还在如下两类图形里经常出现,如下图:
类型三:直径所对的圆周而产生的相似模型
如图,BC与圆O相切于点B,AC与圆O相交于点D,AB为圆O的直径,有:△ABD∽△ACB∽△BCD。若把圆O去掉,便得到了基本的垂直相似模型,如下图:
由于∠ABC=90°,所以,可以把圆的位置移动一下,便得到了下图。AC为直径,BD⊥AC于点D,有:△ABD∽△ACB∽△BCD。
由于∠CDB=90°,所以,可以把圆的位置再移动一下,便得到了下图。BC为直径,AB⊥BC于点B,有:△ABD∽△ACB∽△BCD。
现在,我们来看看具体考题。