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将军饮马起风浪 45°角再出现江湖

2019年资阳压轴题解析

      这两天有事情耽误了,没有更新公众号,今天继续解析2019年中考数学压轴题之资阳压轴题,这是继续解析了成都、绵阳、宜宾、达州、自贡、泸州、攀枝花市中考压轴题后的又一道中考压轴题.废话不多说,试题直接呈现:

   我们首先走入第一小问,依然是求抛物线的解析式,而题中给出的抛物线解析式里含有两个参数,我们却只知道A点坐标,故还要找一个点的坐标,自然是点B,因为点B在已知直线上,且知道点B的横坐标,只需代入直线解析式就可求出B点坐标,这样可求抛物线的解析式,具体过程如下:

第二问 最值与将军饮马

     现在我们来看第二问,题中说道点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E,点P为对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求PD+PA的最小值;那么这一问,显然含有两个知识点,第一求线段的DE的最大值,前面我已经给大家总结过,最大最小,化为二函就好,意思是用二次函数的解析式来表示DE的长度求最值,故试题依然没有太多变化,是常规思路;第二,求同侧两点到抛物线对称轴上一点的和的最小值,这是典型的将军饮马,同侧化异侧,再用三点共线即可,具体过程如下:

第三问45°角存在性问题

       现在我们看第三问,题中说道设点M为抛物线的顶点,在y轴上是否存在点Q,使∠AQM=45°?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.一般说存在性问题,都是存在的,面对45°角我们应怎样思考?

     其实面对特殊角,我归纳了一下应该有以下几种思考:

    (1)“眼中有角,心中有比”,可以考虑解直角三角形;

     (2)特殊角,容易构造等角,可以考虑子母型相似和一线三等角;

     (3)“12345”模型

     (4)定边定角考虑圆;

     (5)半角模型

      现在我们就分别以以上几种情况对本题进行分析,希望能够达到做一题超10题的功能,能帮助大家掌握特殊角解题技巧.

思考1.“眼中有角,心中有比”,考虑解直角三角形;

    其实这个题解完后,还可以过点M做QA的垂线,同时也可以过点A做QA、QM的垂线三种方法,这里我就不一一证明,亲有兴趣的可以自去证明,现在我们用一线三等角来证明.

一线三等角

     因为角OCB=45°=角AQM,而45°角又易构造,故可以考虑一线三等角,依托于y轴自可以构造,具体过程如下

12345模型

      现在我们进入“12345”模型,在前面我已经介绍过“12345”模型,这里不赘述,如果不明白,可以翻前面的文章看一下,当然后面我会专门再写一篇“12345”模型的解题的文章,敬请期待,废话不多说,进入正题.

     我们先回顾一个重要知识:

     “12345”模型堪称外星人的绝技,面对这样的题完全可以秒杀,但提示的是这样的方法只能用于选择填空题,不能用于解答题,因为我们很多数学老师不知道,我也是无意中在于特处学来,越用越觉得顺手,故把此法也写在解题技巧里面!

定边定角考虑圆

     因为这里AM是定线段,角AQB是45°,故有定边定角,这里我们自然可以考虑辅助圆,具体过程如下:

     我们可见辅助圆解题简直妙不可言,我在多篇公众号里都提到隐圆,当然这里不是三言两语说的清楚,同样,我会在后面专门写一篇关于辅助圆的文章,敬请期待.

半角模型

    我们接下来看半角模型,45°角恰好是90°角的一半,故我们应知道,45°角的半角模型通常在正方形和等腰直角三角形中,故本题可依托点Q做x轴的平行线与AM相交,再延长AM交y轴构成等腰直角三角形后得解,具体过程如下:

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