快好知 kuaihz

专题四:圆锥曲线中的轨迹问题

轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的,这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来,轨迹方程就产生了.根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程,这是高考的常考点:一方面,求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质;另一方面,求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想.

Part 1

整理方法 提升能力

曲线轨迹方程的探求有两种题型,第一种题型是曲线类型已知,该题型常用的方法是找条件或用待定系数法,难度不大;第二种题型是曲线类型未知,该题型常用的方法有以下3种:

1.定义法:如果所给的几何条件能够符合一些常见定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义),则可从定义出发直接写出轨迹方程,这种方法叫做定义法.

2.直接法:如果动点运动的条件有明显的等量关系,或者是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表达成含未知数、的等式,从而得到轨迹方程,这种方法叫做直接法.

3.参数法:求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),

常见的消参手法是:加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等.相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况.

【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种:点在圆上,向量数量积为0,斜率乘积为-1,勾股定理.用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程;用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论.

求轨迹方程时,先考虑定义法,看是否满足某种曲线的定义,再考虑直接法,看能否得到一个几何条件,进而将该几何条件代数化再化简,最后再考虑参数法,引进参数解决问题.

【点评】定义法和直接法非常相似,其出发点都是找几何条件,其区别在于对所找的几何条件的理解.如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的,则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程,这就是定义法.如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显,则可以利用直接法,把所找的几何条件代数化,再把代数化后的式子化简到最简.第(2)问的定值证明需要引进参数,而引进多少个参数是因题而异的,一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数.本题总共引进了六个参数:

其准则是所引进的参数都能帮助解题,且最终都能将其消去,这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法.

Part 2

练习巩固 整合提升

本站资源来自互联网,仅供学习,如有侵权,请通知删除,敬请谅解!
搜索建议:专题四:圆锥曲线中的轨迹问题  圆锥曲线  圆锥曲线词条  轨迹  轨迹词条  专题  专题词条  问题  问题词条